Kapitel Vili. Artikel 65. 
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Durchschnitte der vertikalen Lichtstrahlenebenen mit der 
Kugel kreisförmig; denn alle ebenen Durchschnitte der 
Kugel sind Kreise. Um nun das Konstruieren der Ellipsen 
zu umgehen, als welche diese Kreise in der Vertikal 
projektion erscheinen würden, kann man die Lichtstrahlen 
ebenen in die horizontale Grundebene umklappen und 
in dieser Lhnklappung, in welcher die Kreise sich als 
Kreise darstellen, die Schnittpunkte und Berührungs 
punkte der Lichtstrahlen aufsuchen. Dabei ist wie in 
Art. 38 zu beachten, dass die Neigung des Lichtstrahls 
Figur 6 5 c. 
in seiner eigenen (umzuklappenden) vertikalen Ebene nicht 
45 0 beträgt, sondern flacher ist, nämlich die LUpotenuse 
eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen vertikale Kathete 
gleich einem beliebigen Mass a und dessen horizontale 
Kathete gleich a V 2, das heisst gleich der Diagonale 
eines Quadrats über der Seite- a (der Winkel ist a = 
35 0 15,9'). Damit die umgeklappten Kreise nicht auf 
die Kugelprojektion fallen und die Figur verwirren, schiebt 
man sie vor dem Umklappen parallel in der Richtung 
des Umklappens fort, alle in dieselbe Ebene, so dass die 
Umklappung auch als eine vollständige schräge Seiten 
ansicht aufgefasst werden kann. 
Anstatt der vertikalen Lichtstrahlenebenen, welche 
die Schatten zuerst im Grundriss liefern, benützt man, 
wenn man die Grundrissschatten nicht braucht, besser 
die vertikalprojizierenden Ebenen der Lichtstrahlen; denn 
die Kugel ist ja auch eine Drehungsfläche mit Achse 
senkrecht zur Vertikalebene. Die Durchschnitte dieser 
Ebenen mit der Kugel werden wieder Kreise und mit 
Einschluss der Lichtstrahlen wieder in die Vertikal ebene 
umgeklappt. Der Winkel des Lichtstrahls mit der Um- 
klappungsbasis oder Lichtstrahlenprojektion ist wieder 
derselbe wie bei Lhnklappung im Grundriss, nämlich 
« = 35 0 15,9 - 
Beispiel für die Umklappung in die Grundrissebene; 
Auf einer Elalbkugel, deren Basis in der Horizontalebene 
liegt, ist der Schlagschatten eines äusseren Punktes zu 
suchen und die Körperschattengrenze zu bestimmen 
(Figur 65 a). 
Man zieht durch den schattenwerfenden Punkt aa‘ 
einen Lichtstrahl; seine vertikale Ebene denkt man sich 
a u 
Figur 65 a. 
bis b parallel verschoben und dann in die Horizontalebene 
umgeklappt. In der Umklappung rückt c nach d nach 
d„, a nach indem g u a u — g‘ a‘ gemacht wird. Der 
Schnitt mit der Kugel erscheint in der Umklappung als 
Halbkreis über c u dder Lichtstrahl als eine Linie durch 
die mit der Umklappungsbasis g u d u den Winkel a ein- 
schliesst (seine Konstruktion ist aus der Figur ersichtlich). 
Der Schnittpunkt dieses umgeklappten Lichtstrahls mit 
dem Halbkreis ist der Schattenpunkt in der Umklappung 
s„,- sein Zurückklappen in den Grundriss giebt dort den 
Schattenpunkt s; das Hinaufloten von s in den Aufriss 
mit in‘ s‘ = m u s u liefert den Schattenpunkt s' im Aufriss. 
Ein zweiter Lichtstrahl, in der Umklappung als Tan 
gente an den Halbkreis gezogen, ergiebt in seinem Be 
rührungspunkt k„ einen Körperschattengrenzpunkt in der 
Umklappung; er ist zurückzuklappen nach k und dieser 
Grundriss des Punktes hinaufzuloten in den Aufriss nach 
k‘ mit n‘ k‘ = n u k u . Durch weitere Schnittebenen parallel 
zu a d erhält man beliebig viele weitere Körperschatten 
grenzpunkte. In der Umklappungsfigur erscheint die Grenz 
linie als ein Radius b