Kapitel IX. Artikel 69. 
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Die Schlagschattengrenze der Selbstbeschattung ist 
ähnlich erhalten wie in Art. 61 bei Drehungsflächen. Es 
wurden die Ellipsen einiger Horizontalschnitte im Grund 
riss gezeichnet und auf den Ebenen dieser Schnitte der 
Schatten der oberen Randellipse angegeben, der eine kon 
gruente, aber in der Lichtrichtung verschobene Ellipse ist. 
Zu diesem Zweck wurde die Randellipse auf Pauspapier 
gezeichnet und im Grundriss nacheinander in der Rich 
tung des Lichtstrahls je um soviel fortgeschoben, als die 
Länge des Lichtstrahls bis zur Schnittebene angab (die 
Mittelpunkte der fortgeschobenen Lagen sind bezeichnet). 
In jeder Lage wurden die zwei Schnittpunkte zwischen 
Schattenellipse und Schnittellipse als Schlagschattenpunkte 
durchgestochen und bezeichnet. Fast ebenso rasch, aber 
mit minder sicherer Bestimmung der Körperschattengrenze, 
würde das allgemeine Verfahren zum Ziel geführt haben. 
Einige Schnittebenen und Schnittkurven hiefür sind ein 
gezeichnet. 
Nur im Innern des Mantels erscheint der Schlag 
schatten, und zwar umfasst er am obern Teil die beiden 
spitzwinkligen Zwickel als Ausläufer des unter dem Hals 
von den gekrümmten Linien gebildeten Vierecks mit dem 
kleineren Abschnitt der Fussellipse. Die Parallelperspektive 
Figur 69 c (Schnitt nach der durch die Achse gehenden 
Lichtstrahlenebene) soll die Verteilung der Innenfläche an 
Licht, Körperschatten und Schlagschatten besser zur An 
schauung bringen, als es die geometrische Darstellung 
vermag. 
e) Das hyperbolische Paraboloid, bei Abgren 
zung durch vier gerade Ränder auch das „windschiefe Vier 
eck“ genannt, lässt sich auf verschiedene Weise erzeugen; 
in Figur 69d ist diejenige als „Rtickungsfläche“ aus der 
Bewegung einer Parabel gewählt. Zwei Parabeln haben 
Scheitel und Achse gemein; die erste, festgedachte, liegt 
in einer Vertikalebene und erstreckt sich rechts ins Un 
endliche; die zweite liegt in einer Horizontalebene und 
erstreckt sich links ins Unendliche; sie rückt parallel und 
unveränderlich auf der ersten fort, mit dem Scheitelpunkt 
auf ihr bleibend. Beide Parabeln können ihre Eigenschaft 
als fest und beweglich vertauschen, ohne dass die Fläche 
sich ändert. 
Dieser Erzeugungsweise entsprechend kann jeder 
Horizontalschnitt der Fläche aufgefasst werden als ein 
sehr niedriger schiefer Cylinder parallel zur Vertikalebene, 
dessen horizontale Basis die bewegliche Parabel ist und 
dessen Mantellinien gleich geneigt sind wie die Tangente 
der festen Parabel an der Stelle des Durchschneidens. Wo 
die Körperschattengrenze auf der horizontalen Parabel liegt 
als auf einer Zone des Cylinders, da muss sie auch für das 
Paraboloid liegen. Die Bestimmung der Körperschatten 
grenze auf dem Cylinder geschieht nach Art 49. In einfacher 
Weise ergeben sich aus einer und derselben Hilfsfigur, die 
innerhalb des Grundplans gezeichnet ist, die Richtungen 
der Tangenten, welche an die horizontalen Schnittparabeln 
zu ziehen sind, und deren Berührungspunkte die Körper 
schattengrenze bilden. Diese wird eine Parabel, die sich in 
der Seitenprojektion als gerade Linie projiziert, also wie bei 
69 b auch auf kürzerem Weg gefunden werden kann. 
Göller, Schattenkonstruktionslehre und Beleuchtungskunde. 
(Bestimmung der Tangenten in den ausgewählten 
Punkten der festen Parabel und ebenso der Berührungs 
punkte der Tangenten an der beweglichen Parabel nach 
dem Satz, dass jede Tangente der Parabel senkrecht und 
in der Mitte steht auf der Verbindungslinie des Brenn 
punktes mit dem Fusspunkt des Lotes, das vom Be 
rührungspunkt auf die Direktrix gefällt wird.) 
Zur Bestimmung der Schlagschattengrenze ist das 
selbe Verfahren gewählt wie oben für das elliptische Hy 
perboloid; das heisst, die obere Randparabel wurde auf 
Pauspapier gezeichnet und in der Lichtstrahlrichtung par 
allel verschoben. Im gezeichneten Fall wurde die Schlag 
schattengrenze zufällig nahezu geradlinig, was mit der 
geringen Krümmung des schattenwerfenden Randstücks 
zusammenhängt; eine strenge gerade Linie kann aber 
nicht entstehen. Denn wenn die Schlagschattengrenze 
wirklich eine Gerade wäre, so würden die Lichtstrahlen, 
welche sie erzeugen, eine Ebene bilden, und eine solche 
müsste die horizontale Ebene des oberen Randes nach 
einer geraden Linie schneiden; das heisst, der obere 
Rand der Fläche müsste, soweit er den Schatten wirft, 
selbst geradlinig, anstatt parabolisch mit geringer Krüm 
mung sein. 
Figur 69c zeigt die Seitenansicht von rechts mit An 
gabe der Schattenflächen und Beifügung einiger Lagen 
der Geraden, welche entstehen, wenn man die Fläche 
durch Vertikalebenen schneidet, welche die ursprüng 
liche Lage der horizontalen Parabel berühren. Eine 
wichtige Ebene dieser Art ist die Vertikalebene parallel 
zur Lichtrichtung; sie liefert den Durchgangspunkt in 
welchem die Körperschattengrenze jene horizontale Para 
bel schneidet. 
Der Schlagschatten erscheint an der Aussenseite des 
Mantels; würde der Parameter der festen Parabel genügend 
vergrössert, so würde nur auf der Innenseite Selbstbeschat 
tung stattfinden. Zwischen beiden Fällen liegt ein Grenz 
fall, in welchem gar kein Schlagschatten erscheint; er ist 
geboten, wenn die zwei Geraden, nach welchen die Fläche 
von einer tangierenden vertikalen Lichtstrahlenebene ge 
schnitten wird, im Aufriss unter 45 0 stehen und beide 
gegebene Parabeln kongruent sind. Für die Schlag 
schattenbestimmung hätten auch Schnitte parallel zur Ver 
tikalebene, die ebenfalls alle kongruent sind, verwertet 
werden können. 
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