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Kapitel IX. Artikel 74.
spiele gewundene Hornformen oder gewundene Rokoko
gesimse, die ihr Profil im Fortschreiten verjüngen) dürfte
ebenfalls nur das allgemeine Verfahren anwendbar sein.
Hiebei wären für eine genügende Zahl von Normalschnitten
die beiden Projektionen ganz in derselben Weise durch
Umklappungen zu beschaffen und durch Verbinden ähn
lich liegender Punkte zu verwerten, wie für die Flächen
mit unveränderlicher Erzeugenden am Schluss des Art. 72
beschrieben ist.
74. Rückungsflächen mit gleichgerichtet fortschrei
tender, unveränderlicher Erzeugenden.
Steigendes Tonnengewölbe mit bogenför
miger Scheitellinie. Gewundene Säule.
Rückungs flächen entstehen, wenn eine beliebige
ebene Kurve mit einem bestimmten Punkt ihrer Ebene
auf einer beliebigen Leitlinie derart fortschreitet, dass ihre
Ebene immer parallel bleibt, ihre Form immer unverändert
oder geometrisch ähnlich bleibt und im letzten Fall ihre
Grösse sich nach einem bestimmten Gesetz ändert, das
gewöhnlich durch eine zweite Kurve, die ein zweiter Punkt
der Erzeugenden oder ihrer Ebene beschreibt, dargestellt
ist. Gewöhnlich bleibt die rückende Kurve gleichgerichtet;
doch sollen hier zu den Rückungsflächen im weitesten
Sinn auch solche Flächen gerechnet werden, bei welchen
die Erzeugende, indem ihre Ebene parallel fortrückt, in
dieser Ebene sich dreht, und zwar nach irgend einem
Gesetz, das von demjenigen des Parallelrückens abhängig
ist. Hienach scheiden sich die hier im weitesten Sinne
gebrauchten Begriffe ,,Röhrenfläche“ und,,Rückungsfläche“
dadurch, dass bei jener die Ebene der Erzeugenden immer
normal zur Leitlinie bleibt, während sie bei dieser
immer parallel gerichtet ist, ferner bei dieser auch eine
Verdrehung stattfinden kann, bei jener nicht.
Der einfachste Fall der Rückungsfläche ist derjenige,
in welchem die rückende Kurve immer
kongruent und gleichgerichtet bleibt. Hie-
für sei zunächst der Fall des Fortschreitens
auf ebener Kurve ins Auge gefasst. Aus
dem Begriff - der Fläche folgt in diesem Fall,
dass alle ihre ebenen Schnitte parallel zur
Ebene der Leitlinie dieser kongruent sind.
Jede Lage der Erzeugenden lässt sich auf
fassen und schattieren als eine niedrige
Zone einer Cylinderfläche, deren Basis die
Erzeugende ist und deren Mantellinien
parallel sind der Tangente an der Leitlinie
im Punkte der Erzeugenden. Die Cylinder-
flächen lassen sich mit Körperschaften ver
sehen nach Art. 48. Ein Beispiel hiefür
bot schon das hyperbolische Paraboloid,
Art. 69 c, das ja der dort beschriebenen
Erzeugungsweise nach ebenfalls zu den
Rückungsflächen mit unveränderlichen Er
zeugenden gehört. Für die Schlagschatten
auf solchen Flächen sucht man zuerst den
Schlagschatten des schattenwerfenden Kör
pers oder Randes auf der Ebene einer be
liebigen Erzeugenden. Wo diese letzte
geschnitten wird von der Schlagschatten
grenzlinie, da liegt ein Punkt der Schlag
schattengrenze der Rückungsfläche. Für die
Ebene jeder weiteren Erzeugenden ist zu beachten, dass auf
ihr der Schlagschatten des schattenwerfenden Körpers oder
Randes kongruent wird dem ersterhaltenen und nur in
der Richtung des Lichtstrahls nach Massgabe der Entfer
nung der Ebenen zu verschieben ist. Am einfachsten ge
staltet sich diese Schlagschattenkonstruktion, wenn ein von
einer Erzeugenden gebildeter Rand der Fläche den Schlag
schatten auf sie wirft; in dieser Form fand die Lösung
Anwendung beim hyperbolischen Paraboloid.
In Figur 74 a ist als einfaches Beispiel mit kreisförmiger
vertikalstehender Erzeugenden und kreisförmiger Leitlinie
ein steigendes Tonnengewölbe mit bogenförmiger Scheitel
linie gewählt und durch Längenschnitt und Vorderansicht
dazu dargestellt. Die Leibungsfläche erzeugt sich ent
weder durch paralleles Rücken des (halben) Stirnbogens
an der Scheitellinie oder durch Rücken des Scheitelbogens
am Stirnbogen; beide Erzeugungen liefern dieselbe Fläche.
Zur Bestimmung der Körperschattengrenze ist für einen
ausgewählten Vertikalschnitt ab a‘ b\ der sich im Längen
schnitt als Vertikallinie projiziert, die Tangente am an die
Scheitellinie zu ziehen und auf das erhaltene kurze Stück
eines geradesteigenden Tonnengewölbs die Konstruktion
aus Art. 52 anzuwenden. Es ist also am bis zum Schnitt
mit der Bogenwandebene zu verlängern, m nach m‘ hin
überzutragen und durch aa‘ der Lichtstrahl ap a‘p‘ bis
zum Schnitt mit der Bogenwandebene in pp‘ zu ziehen.
Der Berührungspunkt k' einer an den Schnittkreis a‘ b‘
parallel zu m‘p‘ gezogenen Tangente ist ein Körperschatten