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Kapitel X. Artikel 80, 8oa, 8ob. 
ebene schneidet. Von diesem Punkt aus war eine Sekante 
in die Basis zu ziehen, und zwar durch den Schatten des 
gegebenen Punktes auf der Basisebene, ferner eine Tan 
gente an die Basislinie zu ziehen. Die Sekante lieferte 
die schlagschattenaufnehmende Mantellinie, die Tangente 
diejenige der Körperschattengrenze. 
Die Schattenkonstruktion auf schief gerichteten 
Cvlinderflächen nach Art. 48 kann als besonderer 
Fall der vorgenannten Lösung für den als Kegel mit un 
endlich ferner Spitze aufgefassten Cylinder erklärt werden. 
Ihr Grundgedanke war das Projizieren der Lichtrichtung 
und der schattenwerfenden Punkte auf die Basisebene des 
Cylinders, mit der Richtung der Mantellinien als Pro 
jektionsrichtung. Die so erhaltene Projektion des Licht 
strahls war als die in der Basisebene gültige Lichtrichtung 
zu benützen und ergab in den Berührungspunkten ihrer 
Tangenten die Endpunkte der körperschattenabgrenzenden 
Mantellinien, ferner in den Schnittpunkten mit der Basis 
linie die Endpunkte der schlagschattenaufnehmenden Mantel 
linien. Die Schnittebenen werden hier zwar wieder parallel, 
weil die Mantellinien parallel sind; doch ist ihre Lage noch 
immer eine andere als in den drei ersten Fällen. 
Alle in den vier Fällen enthaltenen Lösungen haben 
das Gemeinsame, dass bei ihnen der Schlagschatten eines 
zuvor ausgewählten Punktes oder ein Körperschattenpunkt 
auf der beschatteten Fläche unmittelbar erhalten wird. 
Diese Lösungen können hienach als diejenigen der un 
mittelbaren oder direkten Schattenbestimmung 
zusammengefasst werden. Sie bilden ihres einfachen Grund 
gedankens wegen gleichsam die,,Landstrassen“ der Schatten 
konstruktion und können immer aushelfen, wo die andern 
Konstruktionen unbekannt oder unmöglich sind; nur er 
fordern sie bei bestimmten Flächen weit mehr Arbeit als 
diese andern. Ja schon von den in den drei ersten Fällen 
enthaltenen Lösungen lässt sich aussagen, dass mit ihnen 
allein alle Probleme überwindbar sind, wenn es sich nicht 
um geringen Arbeitsaufwand und Schönheit der Lösung 
handelt, da auch die Kegel- und schiefgerichteten Cyl inder 
flächen mit Schnitten parallel zu den drei Grundebenen 
behandelt werden können. 
80. Die mittelbare Schattenbestimmung und ihre 
vier Fälle. 
Die Konstruktionen der zweiten Hauptgruppe haben 
das Gemeinsame, dass man bei ihnen den Schatten auf 
einem andern Gebilde zu Hilfe nimmt, um denjenigen 
auf dem gegebenen Körper zu erhalten, und es liegt eben 
hierin ihr entschiedener Gegensatz zu denen der ersten 
Gruppe. Sie können hienach als die mittelbar bestim 
menden oder indirekten Schattenkonstruktionen be 
zeichnet werden. Ihr Grundgedanke ist selbstverständlich 
nur da von Wert, wo sich der Schatten auf dem Hilfs 
gebilde rasch erhalten lässt. Auch diese Gruppe lässt vier 
Fälle unterscheiden, und zwar die folgenden: 
a) Man bestimmt eine Körperschattengrenze aus dem 
Schlagschatten, den sie auf eine Ebene, meist eine 
Grundebene, wirft. 
b) Man bestimmt eine Körperschattengrenze auf Dreh- 
ungs-, Röhren- und Rückungsflächen, indem man 
Parallelkreisschnitte, beziehungsweise Normalschnitte 
oder parallele Schnitte nach Lagen der rückenden 
Figur, als niedrige Zonen von Kegeln, oder Kugeln 
oder Cylindern auffasst und schattiert. 
c) Man erhält auf Drehungs- und Rückungsflächen den 
Schlagschatten eines Randes oder Körpers durch 
dessen immer kongruenten Schlagschatten auf ver 
schiedenen Parallelkreis-, beziehungsweise Parallel 
schnittebenen mit Lagen der rückenden Figur. 
d) Man erhält eine Schlagschattengrenze aus den beiden 
Schlagschatten, die ein schattenwerfendes Gebilde 
und das von ihm beschattete auf eine Ebene, meist 
eine Grundebene, werfen. 
Eine Körperschattengrenze erhalten aus ihrem 80a. 
Schlagschatten auf einer Gr und ebene. 
Der erste Fall ist in erster Linie verwirklicht durch 
die in Art. 12 erklärte Selbstschattenbestimmung auf eben 
begrenzten Körpern nach dem Satz: „Diejenigen Kanten 
des Körpers, deren Schatten im Umriss der Schlagschatten- 
flgur erscheinen, sind die Grenzen von Licht und Schatten 
auf dem Körper“. Selbstverständlich kann auch der 
Schlagschatten auf anderen Gebilden als einer Grundebene 
über die Selbstschattengrenze des schattenwerfenden Kör 
pers Auskunft geben ; aber im allgemeinen wird erst der 
Schlagschatten mit Hilfe dieser Grenze zu bestimmen 
sein, nicht umgekehrt. Daher sind bei den gekrümmten 
Flächen nur drep Beispiele zu nennen, nämlich die in 
Art. 59 erklärte Ableitung des Körperschattens einer 
Drehungsfläche aus deren leicht erhältlichem Schlagschatten 
auf • Parallelkreisebene, und die sehr unsichere Bestim 
mung der Körperschattengrenze der Schraubenfläche aus 
der Umhüllungslinie der Schlagschatten ihrer Mantellinien 
auf einer Ebene senkrecht oder parallel zur Achse (Art. 70), 
endlich die Körperschattenbestimmung auf der gewundenen 
Säule durch die Schatten ihrer Parallelschnitte auf der 
Horizontalebene. Uebrigens könnte auch die Bestimmung 
der schattenbegrenzenden Mantellinien des Kegels durch 
die Tangenten aus dem Schlagschatten der S] 1, die ja 
nichts anderes sind als die Schlagschatten jener Mantel 
linien, hieher gerechnet werden (Art. 42). 
Eine Körperschattengrenze auf Drehungs-, 80b. 
Röhren- und Rückungsflächen erhalten 
durch Hilfskegel oderHilfs kugeln oder 
Hilfs cylinder. 
Dieser Fall schliesst das wichtigste Beispiel für in 
direkte Körperschattenbestimmung ein, nämlich diejenige 
auf Drehungsflächen durch Auffassung ihrer Parallelkreise 
als niedriger Kegelzonen oder Kugelzonen, Art. 56 und 57, 
ferner diejenige auf Wulstflächen, schraubenförmigen 
Röhren und anderen kreisförmigen Röhren mit unveränder 
lichem Normalschnitt durch Auffassung des letzteren als 
des Grosskreises einer berührenden Kugel oder als der 
niedrigen Zone eines berührenden Cylinders (Art. 58 u. 71).