Kapitel X. Artikel 8oc, 8od.
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Auch die Behandlung von Röhrenflächen mit beliebigen
unveränderlichen Normalschnitten durch Hilfscylinder, die
längs der Normalschnitte die Flächen berühren (Art. 72),
findet nicht selten praktische Verwertung; sogar noch von
der Auffassung der kongruenten Parallelschnitte der
Rückungsflächen nach Art. 74 als der Zonen schiefge
richteter Cylinderflächen, z. B. bei der gewundenen Säule,
ist dies zu sagen (ein besonderer Fall einer solchen
Rückungsfläche ist das hyperbolische Paraboloid aus Art. 69 e).
Dagegen ist die Behandlung der Rückungsflächen mit ver
änderlichen Erzeugenden (Art. 75) durch Hilfskegel, welche
die Flächen längs Parallelschnitten berühren, und wofür
das einmantelige elliptische Hyperboloid in Art. 69 d ein
Beispiel war, mehr nur theoretisch interessant.
80c. Eine Schlagschattengrenze auf Drehungs- und
Rückungsflächen erhalten durch die Schlag
schatten auf Parallel kr eisebenen, bezieh
ungsweise auf Ebenen der fortrückenden
Figur.
Der dritte Fall der mittelbaren Schattenbestimmung
ist derjenige, bei welchem der Schlagschatten eines schatten
werfenden Körpers oder Randes zuerst auf einer Ebene
gesucht wird, in welcher eine Schnittlinie des beschatteten
Körpers liegt. Wo die Hilfsschlagschattengrenze diese
Schnittlinie schneidet, da ist ein Schlagschattenpunkt auf
dem beschatteten Körper. Dieser Gedanke ist zwar auch
verwertbar, wenn die Schnittlinien aus verschiedenen par
allelen Schnitten des Körpers verschiedene Formen haben,
wofern sie nur einfach und rasch gezeichnet werden können,
so dass im Grunde das Verfahren für vielerlei Flächen zur
Anwendung gelangen könnte. Doch wird es zumeist auf
Flächen mit geometrisch ähnlichen ParallelschniF .»das
heisst auf Drehungs- und Rückungsflächen beschränkt. Die
meist verwertete Lösung dieser Art ist die Bestimmung
des auf eine Drehungsfläche durch einen Randkreis ge
worfenen Schlagschattens mit Hilfe von Parallelkreis
schnitten, auf deren Ebenen der Randkreis seine kongru
enten Schlagschatten wirft (Art. 61). Minder häufige prak
tische Anwendung findet die im selben Artikel beschriebene
Selbstbe attung von Drehungsflächen mit berührenden
Lichtstrahlen und Beschattung durch äussere Körper. Als
mehr nur theoretisch interessant gehört endlich hieher die
Schlagschattenbestimmung auf Rückungsflächen mit un
veränderlicher und veränderlicher Erzeugenden nach Art.
74 und 75 mit Einschluss des hyperbolischen Paraboloids
und des elliptischen Hyperboloids (Art. 69 e und d).
Eine Sch lagschatten grenze erhalten aus den 80 d.
beiden Schlagschatten, die ein schatten
werfendes Gebilde und das von ihm be
schattete auf eine Grund ebene werfen.
Im vierten Fall der mittelbaren Schlagschattenbestim
mung wird auf einer Ebene, meist Grundebene, als dem
Hilfsgebilde sowohl der Schlagschatten des schattenwerfen
den Körpers oder Randes als derjenige einer Erzeugenden
der beschatteten Fläche gesucht. Wo die beiden Schlag
schattenlinien einander schneiden, da ist der gemeinschaft
liche Schlagschatten eines Punktes der schattenwerfenden
Grenzlinie und seines Schlagschattens auf der Erzeugen
den, also auf der Fläche. Fan rückwärts durch diesen ge
meinschaftlichen Schlagschattenpunkt bis zur Erzeugenden
gezogener Lichtstrahl führt also zu einem Punkt der Schlag
schattengrenze auf der Fläche. Das wichtigste Beispiel ist
die Bestimmung des Schlagschattens auf einer Drehungs
fläche nach Art. 62 durch die beiden Schlagschatten, die
von der schattenwerfenden Grenzlinie und von einem
Parallelkreis auf eine zur Achse senkrechte Fibene ge
worfen werden; ferner gehören hieher das Aufsuchen der
Schlagschattenpunkte einer Linie auf den Kanten eines
Vielflachs oder auf einer andern Linie mit Hilfe der Schlag
schatten beider auf einer Grundebene (Art. 17), die Be
stimmung der Selbstbeschattung (oder äusseren Beschat
tung) einer Schraubenfläche oder Wendelfläche durch die
Schlagschatten des schraubenlinienförmigen Randes (oder
der schattenwerfenden Grenzlinie) und einiger Mantellinien
auf der Grundebene (Art. 70), endlich die Schlagschatten
bestimmung auf der Rückungsfläche (Art. 74, gewundene
Säule) und der Konoidfläche (Art. 77).
Mit Hilfe der mittelbaren Schattenbestimmung werden
besonders auf Drehungsflächen und anderen gekrümmten
Flächen mehr verwickelter Erzeugung die Schatten im
allgemeinen rascher und bestimmter erhalten, als mit den
direkten Lösungen; ihre Konstruktionen sind auch meist
interessanter und schöner als diese. Beispiele für ihre vier
Fälle finden sich für bestimmte Formen und Lagen der
Körper wohl noch manche ausser den genannten; wenn
aber auch die Schattenkonstruktionslehre in dieser Rich
tung noch beliebig weit ausgesponnen werden könnte, so
dürften sich doch sogar bei Hereinziehen von Flächen
höherer Ordnungen weitere Fälle neben die vier aufge
zählten nicht stellen lassen.
Firne mittelbare Schattenbestimmung ist der Theorie
nach immer möglich, aber oft undurchführbar.
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