PROPRIÉTÉS DE LA SUITE CROISSANTE DES NOMBRES 
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gression «j -4- a2 4- ... -f-a n . Nous pourrions nous proposer pareille 
ment de calculer la somme des carrés des termes de la progression, 
c’est-à-dire la somme 
a ï H - <*1 H- • •• -h a», 
ou, plus généralement, la somme des ;n èmes puissances des termes 
de la progression, c’est-à-dire la somme 
af 4- af -h ... 4- 
où m est un nombre quelconque. 
C’est là un problème qui a joué un rôle important dans le déve 
loppement de l’Analyse mathématique, et qui a, pour ce motif, 
retenu l’attention des savants les plus illustres. 
Envisageons en particulier le cas où la progression arithmétique 
est celle des n premiers nombres. 
La somme des carrés des n premiers nombres était connue 
d’Archimède (‘) (ni 0 siècle av. J.-G.). La somme des cubes a été 
également calculée dans l’antiquité. 
La somme des quatrièmes puissances est donnée sous une forme 
imparfaite il est vrai, par Ghiyath addili al Kashi ( 2 ) qui vivait à la 
cour tartare, à Samarcande, dans la première moitié du xv° siècle. 
Johann Faulhaber ( 3 ), professeur de mathématiques à Llm 
(i58o-iG35) effectua le calcul des puissances semblables des 
n premiers nombres jusqu’à la onzième puissance. 
Au xvu e siècle enfin, le problème fut résolu dans toute sa géné 
ralité. Il fut proposé à Fermât par le Père Mersenne, et Fermât 
déclara en septembre iG36 (lettre à Mersenne, Œav. de Fermai, 
II, p, Gq) : « Problema totius fortasse Arithmetices pulcherrimum 
construximus, quo non solum in quavis progressione summam 
quadratorum et cuborum venamur, sed omnium omnino potesta 
tum in inlinitum, methodo generalissima, quadratoquadratorum, 
quadratocuborum, cubocuborum, etc. ». 
{.») Ttcpi IXtxtov, X. Les nombres élant représentés par des grandeurs, 
Tévaluation de la somme de leurs carrés est, pour Archimède, un pro 
blème de géométrie. 
P) Ed. Wœpcke, Paris, i853, p. 60-61. 
( :i ) Herrn Johann Faulhabers, continuatio seiner neuen Wunderkünste. 
Zurich, 1617; cf. Cantor, Vorlesungen, t. II, p. 7/(8.