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unter demselben Winkel schneiden müssen. Das Gradnetz ist ein 
winkeltreues. 
Da sich nun bei ähnlichen Figuren die Flächenräume wie die 
Quadrate gleichliegender Seiten, z. B. in unserem Falle wie die Quadrate 
der Meridianminuten verhalten, so werden sie in diesem Gradnetze 
zunehmen, wie sec 4 a/ 2 . Bei der Darstellung einer Halbkugel werden 
also am Rande, wo der Abstand a = 90° ist, a/ 2 = 45°, sec a/ 2 = y 2, 
sec 2 a/ 2 = 2 und sec 4 a/ 2 = 4 sein. Die Flächenräume der Netzmaschen 
zwischen zwei einander nächst liegenden Meridianen und Breiten 
parallelen werden also das Vierfache von den Flächenräumen der 
Netzmaschen in der Nähe der Kartenmitte betragen. 
§ 19. Es hat nun aber dieser Gradnetzentwurf noch eine beson 
ders wichtige Eigentümlichkeit, nämlich die, dafs jeder Kreis der 
Kugeloberfläche auch auf der Bildebene als Kreis erscheint. Es'sei 
C der Mittelpunkt eines beliebigen Kugelschnittes, ferner B der Be 
rührungspunkt der Bildebene und A dessen Gegenpunkt, dann schneidet 
der durch ABC gelegte Hauptkreis den Kugelschnitt in den Punkten 
D und F, und es ist DF der geradlinige Durchmesser des Kugel- 
sclmitts. Die Verlängerung der Linien AD und AF trifft die Bild 
ebene in den Punkten d und f; und führt man diese verlängerten 
Linien AD und AF um den Umring des Kugelschnitts, so entsteht 
auf der Bildebene das Abbild des Kugelschnitts. Legt man nun durch 
den beliebigen Punkt H im Durchmesser des Kugelschnitts eine Ebene 
parallel mit der Bildebene, so wird diese den Kugeldurchmesser AB 
rechtwinklig im Punkte I und den Durchmesser DF des Kugelschnitts 
rechtwinklig in der Linie EG schneiden, so dafs nach einem bekann 
ten Satze der Kreislehre 
DH. HF — HG 2 — HE 2 
ist. Und legt man durch die Punkte A, E, G eine Ebene, so wird 
von ihr die Linie df in der Bildebene ebenfalls rechtwinklig ge 
schnitten und es wird eg parallel mit EG sein und in h halbiert 
werden. Nun sind in den Dreiecken AIK und AFB die Winkel 
AIK und AFB, letzterer als Winkel im Halbkreise, rechte Winkel, 
so dafs die Winkel ABF und AK1 als Komplemente des gemein 
schaftlichen Winkels BAF einander gleich sind, und da die Umrings 
winkel ABF und ADF einander gleich sind, so ist auch 
ADF = AK1, und als Scheitelwinkel 
LHD — FHK, folglich 
ALHD^AFHK, und 
LH: DH= HF: HK, oder 
LH. HK = DH. HF= IIG 2 = HE 2