II. 1. Projektivische Erzeugung von Hyperboloiden. 
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beiden Geraden projektivisch und ihre 
Lage eine beliebig schiefe im Raume. 
Line Ebene a des Ebenenbüschels A i 
treffe die Punkte o und a,; dann wird 
deren Verbindung, d. h. der Projektions 
strahl ci : auch die Axe M 2 , etwa im 
Punkte CE, treffen. Ebenso werden alle 
anderen Projektionsstrahlen &, c, ... 
alle drei Gerade A, A t , A 2 treffen 
müssen. Es bilden mithin die Pro 
jektionsstrahlen a, b, c eine Schar 
von Geraden, die sämtlich die 
drei Geraden schneiden. 
Geht man also davon aus, es sollen 
Gerade alle Strahlen gezogen werden, 
in doppelter Weise zum Ziele gelangen 
Man lege durch eine der drei Ge 
raden, etwa A. 2 , eine Ebene a 2 , so wird 
diese in A und A t die Punkte o und a, 
bestimmen. Die Gerade acq wird A 2 
in einem Punkte a 2 treffen, so dass diese 
Gerade der Forschung genügt. Dasselbe 
gilt für jede Ebene durch A a . Dreht 
sich die Ebene a um die Axe A 2 weiter, 
so werden immer neue entsprechende 
Punkte, wie b, b n oder c, C 4 getroffen, 
die wiederum die Axe in b 2 und c., 
schneiden. Durch jeden Punkt von A, 
A { und M 2 geht nur eine Gerade, denn 
A und A { sind durch die fortschrei 
tende Ebene projektivisch geschnitten. 
Auch kommt die Ebene je einmal in 
Lagen parallel den Geraden A und 
wobei die Projektionsstrahlen q und r 
der unendlich fernen Punkte q und r 4 
erhalten werden. 
Da statt A 2 auch A oder A, als 
Axe gewählt werden kann, so folgt, 
dass sowohl A und A { , als A und A t) 
sowie A { und M 2 von allen Projektions 
strahlen projektivisch geschnitten wer 
den. 
Ebenen a und a { schneiden sich in einer 
Geraden, die den Punkt n 2 der Geraden 
A. 2 trifft, und notwendig auch eine jede 
der beiden Axen, etwa in a und a,, 
schneidet. Mithin bilden alle Durch 
schnittslinien entsprechender Ebenen 
paare eine Schar von Geraden, deren 
jede die drei Linien A, A,, A, schneidet. 
durch drei beliebige im Raume liegende 
die jene drei schneiden, so kann man 
In einer der drei Geraden, etwa in 
M 2 , nehme man einen Punkt a 2 an, 
lege durch ihn und die Geraden A und 
A { zwei Ebenen a und a,, die sich in 
einer Geraden ci schneiden werden, die 
der Forderung genügt. Lässt man nun 
Ct 2 längs der Geraden A. 2 fortschreiten, 
so werden die Projektionsstrahlen längs 
aller drei Geraden fortschreiten. Dabei 
geht durch jeden Punkt einer Geraden 
nur eine Gerade, die alle drei schneidet. 
Es drehen sich nämlich die Ebenen a 
und «, um die Axe A und A { und 
beschreiben Ebenenbüschel, die mit ein 
ander projektivisch sind, aber schief 
liegen, und die Durchschnittslinien ihrer 
entsprechenden Ebenen sind die Pro 
jektionsstrahlen a, b, e, ..., die sämtlich 
der Aufgaben genügen. 
Da statt A 2 eine jede andere Gerade 
derselben Retrachtung unterzogen wer 
den kann, so folgt, dass sowohl A und 
A t als A und A 9 , sowie A { und M 2 von 
allen Projektionsstrahlen projektivisch 
geschnitten werden.