| 40 Dritter Teil. Anwendungen auf Erzeugnisse projektivischer Gebilde im Raume. 
Wir erhalten somit den Doppellchrsatz: »Irgend drei beliebige Gerade 
A, A t , A, im Raume, von denen keine zwei in einer Ebene liegen, können 
von einer Schar Geraden a, b, c, d, . . . geschnitten werden und zwar 
werden je zwei von ihnen von 
einer Schar Geraden projektivisch 
geschnitten.« 
sind je zwei von ihnen die Axen 
projektivischer Ebenenbüschel, 
deren entsprechende Ebenen sich 
in einer Schar Geraden schneiden.« 
Aber auch die Projektionsstrahlen a, b, c, d, ... werden nicht nur von 
den drei Geraden A, A t , A i7 sondern von einer zweiten unendlichen 
Schar von Geraden A 4 , A., ... geschnitten, denn, wenn vorhin von A, 
A { , A 2 ausgegangen wurde und eine Schar projektivischer Geraden a, b, c, r/, . . . 
gefunden wurde, so kann man jetzt von irgend drei Strahlen a, b, c ausgehen 
und die projektivische Beziehung, wie sie durch die schneidenden Geraden A, 
A { , A 2 bestimmt ist, benutzen, um die ganze Schar A 4 , A., ... zu finden, 
die irgend zwei der Geraden a, b, c, . . . projektivisch schneidet. 
»Die Projektionsstrahlen zweier im Raume schiefliegender projektivischer 
Geraden A, A i} sowie die Durchschnittslinien der entsprechenden Ebenen zweier 
schiefliegender projektivischer Ebenenbüschel A, A { haben also gleiche Eigen 
schaft. Sie sind eine Schar von Geraden a, b, e, d, ... welche von einer 
anderen Schar von Geraden A, A { , A 2 , A 3 , ... geschnitten wird, und zwar 
sind je zwei Gerade, die zu der einen oder zu der anderen Schar ge 
hören, 
unter sich projektivisch und die 
jedesmalige andere Schar Ge 
rader sind ihre Projektions 
strahlen.« 
die Axen projektivischer Ebenen 
büschel, deren entsprechende 
Ebene die andere Schar zu Durch 
schnittslinien haben.« 
Aus vorstehendem ersieht man, dass wenn zwei Gerade im Raume gegeben 
sind und irgend drei Projektionsstrahlen gewählt werden, die Gesamtheit der 
Projektionsstrahlen bestimmt ist, die im Raume eine Fläche erfüllt, das »ein 
fache oder hyperbolische Hyperboloid«, und dass diese Fläche von 
einer zweiten Schar Gerader gebildet werden kann, die alle jene Projektions- 
Strahlen schneidet. 
»Die Geraden jeder Schar sind unter 
sich projektivisch und haben die an 
dere Schar zu Projektionsstrahlen.« 
»Die Geraden jeder Schar sind Axen 
projektivischer Ebenenbüschel, deren 
entsprechende Ebenen die andere Schar 
zu Durchschnittslinien haben.« 
Die Konstruktion des Hyperboloides kann also auf mehrfache Weise vor 
genommen werden und zwar entweder dadurch, 
1 dass »zwei Ebenenbüschel ange- 
1) dass zwei Gerade beliebig ange 
nommen und drei Projektionsstrahlen 
gewählt werden«, oder 
nominen und drei Ebenenpaare einander 
entsprechend gewählt werden«, oder