1 58 Dritter Teil. Anwendungen auf Erzeugnisse projektivischer Gebilde im Raume. 
zwei Punkten, durch welche auch der Terrainschnitt geht. Letzterer erscheint 
in der Zeichnung als Ellipse, er ist im Raume eine Hyperbel, deren Asymptoten 
und Mittelpunkt sofort zu erhalten sind, letzterer als Pol des Horizontes, erstere 
als Tangentenpaar. Man überlege ferner, dass eine ähnliche Konstruktion 
auch in Fig. 181 zur Kenntnis der Asymptoten und des Mittelpunktes der 
Terrainkurve führt. 
Kap. 2. Zeichnung von Axe und Scheitel des hyperbolischen 
Paraboloides. 
Wir sahen vorhin, dass jede Schar Gerader von der anderen projektivisch 
ähnlich geschnitten wird. Man kann eine jede Schar auch auffassen als ein 
System von Schnittgeraden zweier projektivisch ähnlicher Ebenenbüschel. Auch 
kann die Axe eines derselben unendlich fern sein. Seine Ebenen sind als 
dann Asymptotenebenen, die die andere Schar projektivisch ähnlich schneiden. 
Je zwei Gerade, die gegen diese Ebenen gleiche Neigung haben, werden pro 
jektivisch gleich geschnitten. 
Je zwei Asymptotenebenen, aus jeder Schar eine, schneiden sich in einer 
Geraden, die notwendig durch den unendlich fernen Punkt P geht; ein Ter 
rainpunkt der Geraden wird im Durchschnitte der Terrainlinien gefunden. In 
dieser Weise wurden in Fig. 182 die Asymptotenebenen Ia[a) und Q[P][Q] 
gewählt. Ihre Terrainschnitte schneiden sich in (tt), also ist P(?r) die Durch 
schnittslinie, deren Fussspur tt(tz) beachtet werde. Auf der Geraden P(tv) 
giebt es zwei Strahlen, aus jeder Schar einer, senkrecht gegen P[ti). Um sie 
zu zeichnen, muss eine Orthogonalkonstruktion ausgeführt werden, welche ohne 
Augenpunkt und Distanzwert nicht möglich ist. Man nehme O a im Horizonte 
an, fälle auf PO a das Lot bis zum Distanzkreise in D a , ziehe D a L a senkrecht 
zu PP a , so ist der Schnittpunkt L a mit der Geraden PO a gefunden. Senk 
recht zur letzteren endlich findet man die Orthogonalflucht R a . Alle nach 
ihren Punkten flüchtenden Geraden stehen senkrecht zu P(tt), mithin auch die 
Strahlen a(a) und Q[Q]*), die wir vorhin gewählt hatten, um den Durchschnitt 
ihrer Asymptotenebenen P(?r) zu finden. Offenbar bildet die durch beide Ge 
rade gehende Ebene aQn eine Berührungsebene, die auf P(?r), mithin auch 
auf beiden Asymptotenebenenscharen senkrecht steht. Unter diesen Umständen 
heisst die Gerade P[7t) Axe, und der Durchschnittspunkt der beiden Geraden 
a[a) und Q(Q), oder was dasselbe ist, der Berührungspunkt der Ebene aQ[n) 
heisst »Scheitel« des hyperbolischen Paraboloides. 
Um den Scheitel S a zu zeichnen, errichten wir im Durchschnittspunkte der 
beiden Terrainlinien a l a und Q K \_Q] ein Lot, welches die Gerade im gesuchten 
Scheitel S a trifft. Der Fusspunkt von S a muss ausserdem in der durch die 
1) Steiner nennt (S. 204 ; Ostwalds Klass. Nr. 83, S. 59) diese Ebenen s und 
und die Gerade P[n) heisst dort x.