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Anhang. 
Ihre Radikalaxe PP ist zugleich Polare je eines Centrums in Bezug auf den 
anderen Kreis. 
21) Konjugierte (hyperbolische und elliptische) Kreissysteme erfüllen doppelt die 
Ebene. Einem beliebigen Punkte P der Ebene (Fig. 191) entsprechen zwei Systeme 
von Polaren in Be 
zug auf beide Kreis 
systeme , und zwar 
bilden alle Polaren 
eines jeden Systemes 
ein Strahlbüschel, В 
und B { . В liegt auf 
der Tangente des 
jenigen Kreises (2) 
der elliptischen Schar, 
der durch P geht. Es 
muss einen zweiten 
Kreis (1) geben, der 
dieselbe Tangente be 
rührt, und zwar ge 
rade im fraglichen 
Punkte B. Alle Po 
laren von В in Bezug 
auf die elliptische 
Kreisschar p n p 0 , p t 
gehen durch B. Ein 
Kreis der konjugier- 
Fig. 191. ten Schar muss durch 
P und В hindurch 
gehen, und sein Centrum к hälftet PB und liegt auf der Potenzlinie. Die Polaren 
von P in Bezug auf das hyperbolische (konjugierte) System bilden auch ein Strahl 
büschel, dessen Centrum auf der Tangente an Kreis (3) liegen muss und zwar am 
anderen Endpunkte eines Durchmessers, in P,, denn der Kreis (2) schneidet ortho 
gonal den Kreis (3). Zugleich ist P, Berührungspunkt eines anderen Kreises (4) 
der hyperbolischen Schar, und k x hälftet PP,. Die Polaren von P in Bezug auf 
die hyperbolische Kreisschar, wie p 4 , p 5 , p c , • • • g e h en a de durch 7i,, und bilden 
ein Büschel. Offenbar ist auch P das Centrum der Polarbüschel von В in Bezug 
auf die elliptische und von /7, in Bezug auf die hyperbolische Kreisschar. Darum 
heissen P und В doppeltkonjugierte Punkte des elliptischen und P und P, doppelt 
konjugierte des hyperbolischen Systems. PPP, ist ein Rechter. Die Verbindungs 
geraden doppeltkonjugierter Pole, PB und PP,, werden von beiden Kreisscharen 
in Punktensystemen geschnitten; mit den Hauptpunkten P und P, P und B { . Die 
beiden Kreise (2) und (3) dienen zur Konstruktion aller Polaren. Denn sei c das 
Centrum eines Kreises (6) der hyperbolischen Schar, so ist die Polare von P in 
Bezug auf Kreis (6) senkrecht auf cP, und da sie durch B' geht, so schneiden 
sich cP und p 6 rechtwinklig, mithin auf der Peripherie (2) in n. 
Der Punkt n durchwandert den ganzen Kreis (2), mit Ausnahme des Bogens 
zwischen P 0 und P,, während c die Radikalaxe P 0 P,, mit Ausnahme der Strecke 
zwischen P 0 und D { , durchläuft. Der Kreis (3) dagegen wird voll durchwandert, 
während das Centrum das elliptische Punktensystem durchläuft. Der Punkt n K halbiert 
zudem auf der Polaren p x die Sehne, sobald der Punkt P sich ausserhalb befindet, 
wie hier ausserhalb (4).