I. 2. Quantitative perspektivische Beziehungen. 
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Dividiert man die Gleichungen 3) in einander, so fallen die den Geraden an 
liegenden Winkel (b) und (c) heraus, und es wird 
n qc bc sin(ac) < sin (de) 
ab’ b b sin [a b) ’ sin (b d) 
In dieser Gleichung kommen nur noch die Strecken auf der Geraden und die 
Winkel des Strahlbüschels vor. Hieraus folgt: 
I) Zwischen je vier Elementen des einen und den vier entsprechenden des 
anderen Gebildes besteht eine feste Beziehung, so dass, wenn je drei Elemente, 
z. B. a, b, c und a, b, c gegeben sind, zu jedem vierten beliebig angenommenen 
Elemente b sich das entsprechende Element d aus Gleichung 4) berechnen 
lässt. Ebenso könnte d beliebig angenommen und b berechnet werden. Der 
Satz 4, in Worten Steiners lautet: »Bei irgend vier entsprechenden Elementen- 
paaren a, b, C, b und a, b, c, d ist ein gewisses Doppelverhältnis , 
gebildet aus vier Abschnitten der Geraden A, gleich dem Doppelverhältnis 
fl: , welches auf entsprechende Weise aus den Sinussen der- 
sm(ao) sin(aö)_j 
jenigen Winkel des Strahlbüschels B, die jenen Abschnitten entsprechen, ge 
bildet ist.« 
Bei der Bildung eines Doppelverhältnisses muss auf die Ordnung geachtet werden. 
Man nimmt die Abstände irgend eines Dunktes (z. B. a) von zwei anderen (b und c), 
und setzt sie in Verhältnis zu den Abständen des vierten (b) zu denselben beiden 
anderen (b und c). Es erscheinen also immer zwei Elemente einander zugeordnet, 
und ebenso werden die Doppelverhältnisse der Sinusse gebildet. — Da nichts über 
die Lage der vier Elemente bestimmt ist, so darf man offenbar beliebige zwei Elemente 
z. B. a und b, oder a und c, oder a und b einander zuordnen und noch zwei den 
Gleichungen 4) analoge aufstellen. 
Hat man nun zwei Gerade A und 
A', die mit einem und demselben Büschel 
B projektivisch sind, so besteht für eine 
jede dieser Geraden aus entsprechenden 
Elementen ein Doppelverhältnis, wel 
ches gleich dem aus den Sinussen ge 
bildeten gleich ist, folglich besteht 
auch unter den gleichgearteten projek- 
tivischen Gebilden A und A' ein Doppel 
verhältnis : 
ab bb a'b' # b'b' 
ac ' bc a'c' ’ b'c' 
Hat man nun zwei Büschel B und 
B', die mit ein und derselben Geraden 
A projektivisch sind, so besteht für ein 
jedes dieser Büschel aus entsprechenden 
Elementen ein Doppelverhältnis, welches 
gleich dem aus den Abschnitten der Ge 
raden gebildeten gleich ist, folglich be 
steht auch unter den gleichgearteten 
projektivischen Gebilden B und B' ein 
Doppelverhältnis: 
sin(aö) sin [db) sin [a'b') sin(d'ö') 
sin (a c) ’ sin [de) sin [a' c') ' sin [d' c'j 
Es folgt hieraus, dass man bei irgend zwei Gebilden A und A', B und B r 
oder A und B irgend drei Elementennaare beliebig annehmen und