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Erster Teil. Perspektive der Lage. 
Ferner folgt aus der Gleichheit der 
dass vier harmonische Strahlen 
eines Büschels von jeder Geraden 
in vier harmonischen Punkten ge 
schnitten werden. 
Doppelverhältnisse: 
dass vier harmonische Punkte einer 
Geraden in jedem Punkte der Ebene 
vier harmonische Strahlen bestim 
men. 
In Hinsicht auf die Lase, welche vier harmonische Elemente haben, senügt es. 
s-C sC J- ^ 
Fig. 91. 
vier Punkte einer Geraden zu betrachten, 
weil hieraus das Verhalten von vier 
harmonischen Strahlen entnommen wer 
den kann. 
Es seien (Fig. 91) o und b einander zugeordnet und es sollen c und b als 
beweglich angesehen werden, so jedoch, dass es immer vier harmonische Punkte 
sind. — Offenbar kann c irgend einen Punkt der unendlichen Geraden A ein 
nehmen. Nennen wir ttt denjenigen Punkt, der die Strecke ab hälftet, so lassen 
sich Gebiete unterscheiden für die Lage von c und b. Es kann I) c ausserhalb ab 
oder innerhalb liegen. Es kann 2) c näher zu a oder näher zu b liegen, d. h. 
es liegt entweder auf der Hälfte ntaoo oder auf der Strecke inbco. 
1) Es liege c in c,, dann ist ^ < 1, folglich ist auch <[ 1 , d. h. b, 
liegt näher zu a als zu b,. Ist c, weiter von a fortgerückt bis ins Unendliche, 
C CI 
so hat sich immer mehr der Einheit genähert, denn es ist gleich 
c, a 1 
c.a + ab 
1 + 
ab’ 
c, a 
welches für c, a = oo gleich 1 wird. Für c, a gleich oo wird also auch ^ = 1, 
d. h. b ist allmählich von a näher zu b gerückt und fällt nach m für c, a = oo. 
Nähert sich dagegen c aus der Unendlichkeit dem Punkte a, so nähert sich 
auch b dem Punkte a, bis endlich beide in a zusammenfallen, wenn 
b, o 
c, a 
c, b 
geworden ist, wobei zugleich = 0 wird. Weiter nimmt c jetzt die Stelle ein, 
die soeben b inne hatte, und b muss ausserhalb a liegen. Erreicht c die Mitte nt, 
so ist der zugeordnete Punkt b ins Unendliche fortgerückt. Nähert sich nun c dem 
Punkte b, so springt b im Unendlichen auf die andere Seite ausserhalb b über 
und nähert sich dem b, bis beide Punkte in b zusammenfallen. Während end 
lich c von b sich ins Unendliche entfernt, läuft b von b nach nt. Das Doppel 
verhältnis ist in diesen letzteren Fällen grösser als I, also auch ^ > 1, 
cb ob 
d. h. b liegt weiter von a als von b. Allgemein erkennt man also, dass von 
den beiden zugeordneten Punkten stets der eine ausserhalb, der andere inner 
halb des anderen zugeordneten Paares liegt; dass ferner beide stets auf einer