III. Definition harmonischer Elemente. 
59 
Hälfte der Geraden, d. h. auf ein und derselben Seite von m aus liegen. Ins 
besondere bildet der Punkt nt mit dem unendlich fernen q ein zugeordnetes 
Elementenpaar. Endlich fallen in a sowie in b zwei zugeordnete Punktenpaare 
zusammen. 
Für Strahlbüschel ergiebt sich, dass die zugeordneten Strahlenpaare wechseln 
müssen. Ferner kann ein Strahl c genau den Winkel der zugeordneten «, b 
hälften, alsdann muss cl auf c senkrecht stehen und es wird 
sin (ca) 
sin ich) 
und 
sin [da) 
sin (db) 
auch = I. 
Hieraus iliessen nun Sätze, die wir in Steiners Fassung wiedergeben wollen 1 ): 
a. »Zu irgend zwei festen Punkten 
a, f> einer Geraden A giebt es unzäh 
lige Paare zugeordneter harmonischer 
Punkte b, C, und namentlich ist der in 
der Mitte zwischen a und b liegende 
Punkt m und der unendlich entfernte 
Punkt q der Geraden^! ein solches Paar; 
und ferner ist in jedem der beiden Punkte 
Ci, b selbst ein solches Paar vereinigt.« 
ß. »Zu irgend einem festen Punkte nt 
einer Geraden A und zu ihrem unend 
lich fernen Punkte q giebt es unzählige 
zugeordnete harmonische Punktenpaare, 
wie etwa a, b, und zwar sind je zwei 
solcher Punkte gleich weit von jenem 
festen Punkte entfernt; und umgekehrt, 
je zwei Punkte, welche gleich weit von 
jenem festen Punkte entfernt sind, sind 
ein solches Paar.« 
y. »Liegt von vier harmonischen 
Punkten einer in der Mitte zwischen zwei 
einander zugeordneten, so ist sein zu 
geordneter unendlich entfernt; und um 
gekehrt: ist von den vier Punkten einer 
unendlich entfernt, so liegt sein zuge 
ordneter in der Mitte zwischen den zwei 
zugeordneten Punkten.« 
a. »Zu irgend zwei festen Strahlen 
a, b eines Strahlbüschels B giebt es 
unzählige Paare zugeordneter harmoni 
scher Strahlen c/, c, und namentlich sind 
die zwei Strahlen, welche die von jenen 
Strahlen eingeschlossenen Winkel hälften, 
mithin zu einander senkrecht sind, ein 
solches Paar; und ferner ist mit jedem der 
Strahlen a, b ein solches Paar vereinigt.« 
ß. »Zu irgend zwei zu einander senk 
rechten und festen Strahlen, etwa c, d, 
eines ebenen Strahlbüschels B giebt es 
unzählige zugeordnete harmonische Strah 
lenpaare, wie etwa a, b, und zwar sind 
je zwei solche Strahlen gleich weit von 
jedem der zwei festen Strahlen entfernt; 
und umgekehrt, je zwei Strahlen, deren 
Winkel von jenen zwei festen Strahlen 
gehälftet werden, sind ein solches Paar.« 
y. »Schliesst von vier harmonischen 
Strahlen einer mit zwei einander zuge 
ordneten gleiche Winkel ein, so thut 
sein zugeordneter ein Gleiches; und um 
gekehrt: sind zwei zugeordnete Strahlen 
zu einander senkrecht, so hälften sie 
die von den beiden anderen Strahlen 
eingeschlossenen Winkel.« 
i) s. Ostwalds Klassiker d. exakten Wissenschaften, Nr. 82, Seite 28.