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Erster Teil. Perspektive der Lage. 
bei A, einen rechten Winkel bilden. Bezeichnen wir MA, d. h. die gemeinsame 
Potenz der Systeme mit p, Halbmesser irgend zweier Kreise der elliptischen und 
hyperbolischen Schar mit R e und R /t , 
so ist Mn Mn K — MA 1 = (P, also 
q- -(- R h * = {MCf, weil o und R h bei 
A„ rechtwinklig sind. Beiderseits 
(JfC'J* addiert, kommt [MC,) 4 + q 1 
+ R,f = (MC,)- + (MC)- = (C, Cf. 
Nun ist der Definition gemäss 
MC*A-q*= C K A' = R e \ 
also Rq‘ + R^ = [C K Cy, 
mithin stehen R e und R/ t auf einander 
senkrecht. 
Denkt man sich nun wieder ein Strahlbüschel in einem beliebigen Centrum (wie C) 
eines Kreises k e der elliptischen Schar, so berühren dessen Strahlen wieder sämtliche 
Kreise der hyperbolischen Schar und zwar in den Punkten eben dieses 
Kreises k e . D. h. jeder Radius der einen Schar berührt einen Kreis der anderen 
Schar, so dass, wenn man irgend einen Kreis der einen oder der anderen Schar 
vollführt, man immer von einem Berührungspunkte zum anderen fortschreitet. Die 
beiden Kreisscharen bilden also ein Netzwerk, dessen Linien sich überall senkrecht 
schneiden. Hieraus folgt ein Lehrsatz, den man zur Konstruktion harmonischer 
Punkte gebrauchen kann. 
Lehrsatz: Beschreibt man (Fig. 112) mit einem Strahl LA einen Kreis umi, 
während am Endpunkte TV", N { des Radius eine starre Senkrechte Nc sich mitbewegt, 
so trifft diese letztere auf der Geraden MA die Centren c, c, der hyperbolischen 
Kreisschaar, während zugleich die Radien cR, c, iV, die Kreise selbst zu beschreiben 
gestatten, so dass aa l , bb { Punkte des hyperbolischen Punktensystemes und zugleich 
die zueeordneten harmonischen Punktenpaare zu A, A t sind.