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17. Allgemeiner Lehrsatz zu §. 16. 
fallen und müssen z u 2) die erwähnten Winkel 
identisch seyn, 
II. Wenn zwei Dreiecke abc und abc vorgegeben sind, 
in welchen jedoch kein Winkel des einen mit einem gleich 
namigen des andern übereinstimmt, und an die inwendigen 
Seiten des Dreiecks abc drei neue Dreiecke angelegt wer 
den, welche dem Dreieck abc ähnlich sind, dergestalt dass der 
Winkel a beiderseits theilweise auf a, b auf b, c auf c liegt; so 
werden drei neue Punkte in der Ebene bestimmt, welche a", b ", 
c" heissen sollen, je nachdem sich in ihnen die Winkel a, b, c 
darstellen. Ich sage nun wieder: 
1) Die drei geraden Linien ad', bb", cd' schneiden sich 
Verlängert in einem Punkt d". 
2) Es sind die Winkel d' d" b" = ad " b 
a'd'c' — ad" c 
b" d" c" = bd'c 
Beweis: 
Die Beschränkung dass die beiden Dreiecke abc und 
fibc keinen gleichnamigen Winkel gemein haben, ist nöthig, 
denn würden zwei solche Winkel gemein seyn, so fielen 
« , b", c" auf a, b, c und die verlangten Linien würden alle 
drei zu Punkten; wäre aber nur ein solcher Winkel gemein 
z, B. b r 4 so fiele a" auf ba oder seine Verlängerung 
und c" auf bc oder seine Verlängerung, und deshalb wäre b 
selbst der Durchschnittspunkt der zu 1) verlangten Linien. 
Da ferner (a — a) -f- (b — b) -j- (c — c) —'0 so muss 
notlnvendig eine dieser drei Differenzen sich von den beiden 
andern dadurch unterscheiden, dass sie das entgegengesetzte 
Zeichen der beiden andern hat. Es heisse diese ausgezeich 
nete Differenz (/> — b) da die Buchstaben willkührlich sind. 
Demnach sind nur zwei Fälle möglich 
a) b b; a <C a; c < C 
b) i < b; « > a; c > C 
Zu a) Es müssen ba" und bc" innerhalb des Dreiecks abc 
fallen, dagegen aber ab", ac", cd' und cb" ausser 
halb; deshalb liegt b" nothwendig ausserhalb des 
Dreiecks abc dem Winkel b gegenüber, dagegen 
d und c" ausserhalb des Dreiecks der Seite ac 
gegenüber. — Weil nun Winkel aba" = c"bc = 
(^6 — b) und ba l ba" =■ bc I bc, so sind auch die