91. Aufgabe. Ein Viereck ABCD, Fig. 72 durch gerade 
die AC u u d B D 
schneide» de Linien 
in mehrere, z. B. in 
drei Theile zu thei 
len, deren Flächen 
sich wie die Zahlen 
m :n:p verhalten. 
1. A nfl ösun g. 
Man theile die Seiten 
AC, BD nach dem ge 
gebenen Verhältnisse; es 
sei also Aa: ad : dC~Bc: cf :fD = m:n:p; verbindet c und t mit A, 
zieht ferner durch D eine mit AC parallele Linie DF, welche die eben ge 
zogenen Linien in b und e schneidet, verbindet e mit d, und b mit a, |o 
sind vor der Hand del und abc die Gränzen der Flächen.' 
Bezeichnen wir die Theile mit Al, Ai, P und verbinden wir A, a 
mit D so haben die Dreiecke AeB und Ave in A den Scheitel, also gleiche 
Höhe, daher AeB: Ave — Bc: cD, oder statt den letzten zwei Größen ihre 
Werthe gesetzt: AeB: ADe — m: (n-f-p), daraus folgt 
ADc AeB i). 
Werden ferner b und D als die Scheitel der Dreiecke Aab und aCD 
angenonnnen, so verhält sich, weil DF mit AC parallel ist 
Aab: aCD — m: (n-)-p), folglich ist aCD ——^ Aab 2). 
Wird die Gleichung 1) und 2) addirt, so ist 
ADe-j-aCD (AcB+Aab), daher 
(AeB -f- Aab): (ADc -s- aCD) — m: (n-s-p). 
Aber AcB-{-Aab=AabcB=AI; ferner, wenn der Durchschnitt zwischen 
AD und ab mit r bezeichnet wird so sind (8- 89, vierter Satz) die Flächen 
Abr und arD gleich, also ADe -f- aCD = Dcbr Arb -j- aCD 
= D c b r+ arD -|- aCD = a C D c b = N-J-P, somit, wenn diese Werthe 
in die letzte Proportion substitnirt werden Al: (X-s-P) — m: (n-j-p) 3). 
Auf dieselbe Art kann, wenn noch d mit D verbunden und der Durch 
schnitt zwischen de, AD mit s bezeichnet wird, bewiesen werden, daß 
AdefB:CDfed = (m+n) : p, oder (ADf-N): P = (m-j-n) : p 4). 
Alls der Proportion 3) und 4) folgt Ai:N = m:n; es ist daher all- 
gemeill Al: Al: P = m: n: p. 
Daß diese Auflösungsart auch auf mehr als drei Theile anwendbar 
sei, ist ails dem Gesagten ersichtlich. 
Der Winkel abc und des wird in vielen Fällen so stumpf sein, daß 
diese Gränze belassen werden kann; will man sie in eine gerade ändern, 
so ziehe man z. B. bei abc von b eine mit ac parallele Linie bg, welche 
die BD in g schneidet, verbinde a mit g, so ist diese gerade Linie die de 
finitive Gränze zwischen P und N wegen §. 89, vierter Satz. 
Ganz ans dieselbe Art kann die Gränze det in eine Gerade geändert werden.