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Legender'sche Satz. 
§. 20. Sind die Seiten eines sphärischen Dreieckes im Vergleich zu 
den Kugelhalbmesser bedeutend klein, so kann das Dreieck nach einer kleinen 
Korrektion seiner Winkel als ein ebenes also nach den Sätzen der ebenen 
Trigonometrie mit aller Schärfe aufgelöst werden. 
In §. .18 Gleich 1) haben wir den Cosinus eines sphärischen Winkels 
durch die drei in Klaftermaß gegebenen Seiten allsgedrückt, es ist nämlich: 
LOS. A — 
b 2 -f-c 2 
2b c 
( 
2 a 2 b 2 -j-2a 2 c 2 -f-2b 2 c 2 —a 4 —b 4 - 
24 b er 2 
0 
...l). 
Denken wir uns nun eilt ebeiles Dreieck, 
Fig. 12, welches mit dem sphärischen gleiche Sei 
ten a, b, c hat, diese ebenfalls in Klaftern aus 
gedrückt, und bezeichnell wir die Winkel in dem 
ebenen Dreicke mit A', B', C', so ist 
b 2 -j-c 2 —a 2 
cos.A' —- 
daraus sin. 2 A'=l- 
2 bc 
-COS. 2 A / rr= 1 ■ 
2) 
( 
b 2 -|-c 2 - 
TFc 
und nach verrichteter Potenzirung sin. 2 A' 
2a 2 b 2 -j-2a 2 c 2 -j-2b 2 c 2 —a 4 —b 4 —c 4 
daher ist 
bcsin. 2 A' 
4b 2 c 2 
2a 2 b 2 4~2a 2 c 2 -|-2b 2 c 2 - 
i 4 —b 4 —c 4 
.3). 
6r 2 24 b c r 2 
Mit den Werthell aus 2) itub 3) folgt ans der Gleichung 1) 
. A/ bcsin. 2 A' 
cos. A— cos. A' 4). 
Setzen wir, um den Unterschied zwischell A und A' zu erhalten, 
A = A'-f- x / so können wir sin. x— x und cos. x — 1 allnehmen, und 
dann ist cos. A — cos. (A' -f- x) — cos. A' — x sin. A', wird dieser 
Werth in die Gleichung 4) substituirt, so erhält man x— sin. A 
ab er 
be sin. A' 
6r 2 » 
ist die Fläche des ebenen Dreieckes, die man wegen r 2 tm 
verwechseln sann, daher 
Nenner auck mit der des sphärischen Dreieckes 
V F 
ist x = 4 —rr und in Sekunden x" — ^ —777 —5). 
Bestimlllell wir aus Z. 17, Gleichlmg 2) F dllrch den sphärischen 
Erzeß, so ist F=e"r 2 sin. 1", und setzen wir diesen Werth in die Glei- 
chlmg 5), so ist 
p" 
0^ 0^ 
daher A — A —; aus diese Art hätten wir B" — B — und