CIIAP. VII. 
ALTÉRATIONS. 
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CHAPITRE VIL 
ÉTÜDE GÉNÉRALE DES ALTÉRATIONS DANS UNE PROJECTION QUELCONQUE. 
i. Nous avons donné aux §§ 11-15 du chapitre V les formules 
qui permettent d’évaluer en un point quelconque d’une projection zé 
nithale les altérations d’angles, de longueurs et de surfaces; nous 
allons maintenant étudier la même question d’une manière générale 
et chercher la loi de déformation en un point quelconque, lorsqu’on 
passe d’une figure tracée sur le sphéroïde à celle qui la représente sur 
la carte. 
Considérons un point quelconque du sphéroïde défini par sa lati 
tude l et sa longitude t, et le plan tangent en ce point; toute courbe 
infiniment petite tracée autour de ce point peut être considérée comme 
située tout entière clans ce plan tangent qui se confond avec la sur 
face jusqu’à des distances infiniment petites du point de contact; 
supposons que cette courbe soit une circonférence dont ce point oc 
cupe le centre. Un arc quelconque tracé du centre à la circonférence, 
c’est-à-dire un rayon quelconque cle cette dernière, aura pour lon 
gueur 
ds—\Jr*dP -j~ pPdP, 
r désignant le rayon du parallèle du point (Z, t) et p le rayon de 
courbure du méridien eu ce point; r et p sont donc des fonctions 
connues de l. 
Soit, sur la carte, x et y les coordonnées rectangulaires du point 
correspondant au point (l, t) du sphéroïde; l’élément considéré aura 
pour projection un arc dont la longueur sera exprimée par 
\jdx* -f- dy 2 . 
» 
Désignons par m le rapport de la seconde distance à la première, 
rapport variable d’un point à l’autre de la carte, et variable aussi en