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Berechnet man ans diesen Proportionen die Werthe von Ir—h
und i—h und substituirt sie in die obigen zwei Gleichheiten, so kommt:
(1423) —-34. —.
2 p
(14zu) = — 34. —. ö 2 ). v. w., woraus
2 p
(14zu) = v.w. (1423); demnach wird:
(1z u4) — v. 124 -j- w. 134 -j- y. w. 1423
oder wenn man die doppelten Inhalte der Flächen 1zu4, 124, 134,
1423 resp. mit F, K, F, M bezeichnet:
2 F = v. K + w. L -J- v. w. M. (V)
Da sich die Größen K, L, M nach der in §. 94 entwickelten Regel
durch die Coordinaten der Viereckspunkte ausdrücken lassen, so ist durch
die Gleichung (V) die Aufgabe 2) gelöst.
Die Werthe von K, L, M, nämlich:
L— 124 — (xi—x«)y 2 + (xa—xi) y 4 -j- (x 4 —x 2 )y 4 ,
F — 134 — (xi—x 4 ) y 3 + (x 3 —Xi) y 4 + (x 4 —x 3 ) yi,
M — 1423—(xi—x 2 ) y 4 -j-(x 4 —x 3 ) y 2 -f-(x 2 —xi)y 3 -f-(x 3 —x 4 ) y t
lassen sich so umformen, daß die Anzahl der zu bildenden Produkte je
nur zwei beträgt. Denkt man sich nämlich in der ersten Formel (K)
für x 4 —Xr die Summe (x 4 —Xi) -j- (Xi—x 2 ) gesetzt, und die mit den
selben Faktoren behafteten Glieder zusammengezogen, so kolnmt:
K—(x 4 —Xi) (yi-y 2 ) + (x 4 -x 2 ) (y 4 -y 4 ).
Die Umformung von Fist: F—(x 3 —x 4 )(y 4 —yi)+(x 4 —xi)(y 4 —y 3 )fvi
und endlich diejenige vonN: N—(xi-x 2 )(y 4 —y 3 )-j-(x 3 -x 4 )(yi—y 2 ) j
Nunnrehr können wir zu der Behandlung der Hauptaufgabe schreiten.
Bedeuten cp das Azimuth der Theilungslinie nz im Punkte n; y„, x„
die Coordinaten von u, so ist:
tg <p
_ fr
x z -
woraus
"Xn
-y*
Xu—Xn
y„—y u =iL_ii(y„_y,)
Xz—Xn
folgt, oder wenn man in diese Formel die aus III und IV sich erge
benden Ausdrücke für Xz, y z ; x u , y u setzt:
y n _ yi _ w fy ä _ y4)= [y.-y.-.vfy.-y,)].