LA GÉOMÉTRIE IRRÉELLE 
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En particulier les équations £ = o, y — o, correspondant à 
x =y — o, définissent respectivement les axes de coordonnées d’où 
Fon est parti (axe des y et axe des x). L’équation t = o doit être 
semblablement considérée comme l’équation d’une droite ; mais 
tous les points de celte droite sont à l’infini, d’après ce qui pré 
cède; et réciproquement pour tous les points situés à l’infini, on a 
t — o. Donc l’équation r = o, qui définit une droite située à l’in 
fini, représente tous les points du plan qui sont à l’infini : en 
d’autres termes, les conventions que nous avons faites nous con 
duisent à admettre (comme nous l’avons dit au n° 775), que tous 
les points à l'infini (dans un plan) sont situés sur une même droite 
que nous appellerons « droite de l’infini ». 
Cela admis, rechercher les points à l’infini d’une courbe quel 
conque revient à déterminer les points d’intersection de la courbe 
avec la droite do l’infini. Le nombre de ces points sera en général 
égal au degré de la courbe, comme il arrive pour une droite ordi 
naire. Pour les obtenir on fera r — o dans l’équation homogène de 
la courbe [relation entre £, r,, t] et l’on déterminera les valeurs 
de £, Tj qui satisfont à l’équation restante. L’une des deux coor 
données S, Y], pourra ici encore être choisie arbitrairement : 
l’équation de la courbe détermine l’autre (’). 
(') Voici un mode d’interprétaiion de la transformation des coordon 
nées cartésiennes en coordonnées homogènes qui est souvent d’un secours 
utile : Considérons, par rapport à un système de trois axes rectangu 
laires, une sphère de centre o et de rayon i qui a pour équation 
a 8 + y % + z- = i. A tout point M (de coordonnées x 2 y] du plan des xy, 
je fais correspondre le point N de la sphère dont les coordonnées carté 
siennes a, ¡3, y sont proportionnelles aux coordonnées homogènes ç, r ( , r 
-J ; réci 
réciproquement à 
r a S 
du point M |^c est-à-diro sont tels que — == — 
tout point N de la sphère je fais correspondre le point M du plan des xy 
qui a pour coordonnées homogènes les trois coordonnées cartésienne de N 
.[lesquelles sont (672) les cosinus directeurs du rayon ON]. 
La correspondance ainsi établie est univoque et réciproque, car un sys 
tème de valeurs de ç, r n x détermine toujours un point M et un seul 
(777), et réciproquement à trois valeurs de £, T), x correspond un et un 
seul système de valeurs des coordonnées a r ¡3, y dont la somme des 
carrés doit être égale à 
[s. 
étant connus, posons 
P 
.J r ‘ T 
la valeur du rapport X sera déterminée par la condition «* + + Y* 
— X 2 - 2 -f- X 2 /) 2 + X 2 t 2 = i qui donne X 2 = 
V + V + 
; d’ailleurs,