NOTES. TOME I. p. 83—87. 
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Page 83. Un autre point que Hamilton trouve obscur est la démonstration du thé 
orème de la page 83. 11 faut avouer qu’elle aurait pu être plus courte et plus claire; 
mais quant k la rigueur elle est a l’abri de toute objection sérieuse. Le seul point qu’on 
pourrait révoquer en doute serait les équations v x -f- v 2 = (fx 1 , v 2 -\-v 3 =çpx 2 etc. Poul 
ies justifier, il suffit de faire voir qu’il existe une substitution des cinq quantités qui 
transforme v t en v 2 , en remplaçant x x par une autre lettre x 2 . Or dans le cas con 
traire il faudrait que chaque substitution qui change v x en v 2 laisse æ t k sa place, mais 
on se convaincra aisément que dans cette supposition le nombre de valeurs de v serait 
un nombre pair. La même chose aurait encore lieu, si la fonction cfx 1 était symétrique 
par rapport aux cinq quantités x y , x 2 . . . x, . 
Page 87. L’article du Bulletin de Férussac que nous avons placé après le mémoire 
n’est pas signé, mais Abel s’en est déclaré auteur dans une lettre k Holmboe (voyez 
t„ 11, p. 260). L’article fut suivi de quelques lignes du rédacteur, Saigey; les voici: 
“Note du rédacteur. Dans un Mémoire sur U insolubilité des équations algébriques géné- 
“ raies d'un degré supérieur au quatrième (Société Italienne des Sciences tome 9) et dans sa 
“ Théorie générale des équations (ibid.), Ruffini, géomètre italien, mort il y a quelques 
“années, a démontré la proposition qui fait le sujet de cet article; un second mémoire 
“du même auteur sur Vinsolubilité des équations algébriques générales d'un degré supérieur 
“au quatrième, soit algébriquement, soit d'une manière transcendante, se trouve dans les Mé- 
“ moires de l’Instit, nat. italien, t. 1, part. 2. Ce dernier mémoire avait été lu le 22 
“novemb. 1805. Dans les Mémoires de l'Institut imp. et roy. de Milan, tome 1, un autre 
“auteur fait voir que l’impossibilité de la résolution de l’équation générale du cinquième 
“degré est contradictoire avec une proposition que nous ne pouvons rapporter ici, ou du 
“moins il demande solution d’une difficulté qui n’avait pas été prévue. M. Cauchy a 
“revu la démonstration de Ruffini, et il en a fait un rapport favorable k l'Académie des 
“sciences, il y a quelques années. D’autres géomètres avouent n’avoir pas compris cette 
“démonstration, et il y en a qui ont fait la remarque très-juste que Ruffini en prouvant 
“trop, pourrait n’avoir rien prouvé d’une manière satisfaisante; en effet, on ne conçoit pas 
“comment une équation du cinquième degré, par exemple, n’admettrait pas de racines 
“transcendantes, qui équivalent k des séries infinies de termes algébriques, puisqu’on dé- 
“ montre que toute équation de degré impair a nécessairement une racine quelconque. 
“M. Abel, au moyen d’une analyse plus profonde, vient de prouver que de telles racines 
“ne peuvent exister algébriquement; mais il n’a pas résolu négativement la quéstion de 
“l’existence des racines transcendantes. Nous recommandons cette question aux géomè 
tres qui en ont fait une étude spéciale”. 
Le point faible du raisonnement de Ruffini, c’est qu’il suppose, sans démonstration, 
que les radicaux qui concourent k la résolution de l’équation s’expriment rationnellement 
par les racines. Ce défaut de son raisonnement, ou plutôt un défaut analogue, a con 
tribué k produire le résultat faux dont parle Saigey ; il y a d’ailleurs aussi d’autres ob 
jections k faire k cette partie de ses travaux, au reste si pleins de mérite. 
Sylow.