56 
SUR LA COMPARAISON DES TRANSCENDANTES. 
De là ou tire 
dx — 
d's 
ds ’ 
et en multipliant par f{y 1 æ), où f désigne une fonction rationnelle de y et æ, 
(5) f(y, x) dx = — f(r £ æ) d's, 
dx 
où on a mis r au lieu de y dans le second membre. On aura donc, en 
développant la différentielle d's, une équation de cette forme: 
(6) f(i/, x) dx = (p x. da -[- (p L x. da 1 -|~ r/qa?. da 2 -]-•••? 
(ppx etc. étant des fonctions rationnelles de æ, a, cq, cq etc. 
Cela posé, soient aq, æ 2 , x 3 ... x n les racines de l’équation s — 0; on 
aura, en substituant ces valeurs au lieu de x dans l’équation (6), n équa 
tions semblables qui, ajoutées ensemble, donneront celle-ci: 
/(JA, x i) dxi -f-/(?y a , a; 8 ) dx 2 -[ //(?/„, *») dx n 
— [<pxi + f/>æ 2 -f- <paq -| 1- yæj da 
+ ( Pi%‘2 -f- (PiX s -j- • • • -j- </qaq] da x 
+ [y2^1 H - ( Ps x 2 “f - ’ ’ ■ H - ( P‘/ X n\ da 2 
+ ■ ’ 
c’est-à-dire 
f{yi, x i) dxi +/(?/ 2 , aq) dx 2 -)- • • • +/(//„, fl3 n ) dx n — Rda -|- 74 da x -f - 74 da 2 -\ , 
où 7/, 74, 77 2 . . . sont, comme il est aisé de le voir, des fonctions rationnel 
les de a, ffl 1; a 2 .. . . 
Maintenant le premier membre de cette équation est une différentielle 
complète; le second membre est donc aussi immédiatement intégrable. En 
désignant donc 
O 
j*[ R da —j— R j da ^ —|— R 2 do\ 2 —j— • * • j 
par (i, il est clair que y est une fonction algébrique et logarithmique de 
a, a l7 a 2 . . . . 
O11 aura donc, en intégrant et désignant j]f (y, x) dx par ipx, 
(7) yjx! -j- \px 2 -j- ipx3 —J— . . . —{— xjjx n — G'-j- y. 
Cette équation exprime, comme on le voit, une propriété de la fonction 
\px 1 qui en général est transcendante.