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Allgemeine Arithmetik. 
Wäre zugleich a = sk -j- r, so wäre r — r = («' — s)k durch k 
theilbar gegen die über r und r gemachte Voraussetzung. 
Zufolge dieser Darstellung der Zahl a heißt r der Rest von a 
nach dem Modulus k. Wenn zwei Zahlen a und b nach dem 
Modul k denselben Rest haben oder nicht, so werden sie congruent 
oder incongruent nach dem Modul k genannt. Um die Congruenz 
der Zahlen a und b nach dem Modul k auszudrücken, schreibt mein*) 
a = b, mod k 
Z. B. 32 = 17, mod 5, weil 32 und 17 nach dem Modul 5 denselben 
Rest 2 haben; 23 = — 17, mod 8, weil 23 und —17 nach dem 
Modul 8 denselben Rest 7 haben. Die nach dem Modul k mit b 
kongruenten Zahlen sind von der Form b -j- tk. 
Die Differenz der nach dem Modul k kongruenten Zahlen a und b 
ist von der Form tk d. h. durch den Modul der Congruenz theilbar. 
Ein gemeinschaftlicher Divisor von a und k geht auch in b auf; der 
größte gemeinschaftliche Divisor von a und k ist zugleich der größte 
gemeinschaftliche Divisor von b und k. 
Umgekehrt schließt man, daß die Zahlen a und b nach dem Modul 
k congruent oder incongruent sind, je nachdem ihre Differenz durch k 
theilbar oder nicht theilbar ist. 
18. I. Wenn zwei Zahlen nach dem Modul k congruent sind, so 
sind sie auch nach jedem Divisor von k congruent. Wenn zwei Zahlen 
nach den Moduln k, l, m . . congruent sind, so sind sie auch nach 
dem kleinsten gemeinschaftlichen Dividuus der Moduln congruent (5). 
Denn nach der Voraussetzung geht k in der Differenz der beiden Zahlen 
auf, folglich u. s. w. 
II. Wenn nach einem Modul die Zahlen a und b, m und n con 
gruent sind, so sind auch die Summen oder Differenzen a + m und 
b + n, die Produkte am und bn r die Potenzen a c und b c nach dem 
selben Modul congruent. Denn nach der Voraussetzung geht der Modul 
sowohl in a — b, als auch in m — n aus, folglich u. s. w. (2). 
Wenn überhaupt nach einem Modul die Zahlen x und y, « 0 und b 0f 
o 1 und b if ö 2 und ¿ 2 , . . congruent sind, so sind auch die Polhnomien 
a 0 -\- a i x st- a 2 x 2 st- . . und b 0 st- b x y st- b 2 y 2 st- . . nach dem 
selben Modul congruent. 
III. Aus der Congruenz der Vielfachen am und hm nach dem 
Modul k folgt die Congruenz der Zahlen a und b (nicht nach dem 
k 
Modul k, sondern nur) nach dem Modul j, wenn durch 6 der größte 
*) G auß Disq. arithm. 1 ff. Vergl. Dirichlet Zahlentheorie ß. 17.