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Allgemeine Arithmetik. 
Nach dem Modul 5 sind alle Zahlen congruent mit einer der Zahlen 
0, 1, —1, 2, —2. Nach demselben Modul sind also alle Quadrate 
congruent mit einer der Zahlen 0, 1, — 1. Daher ist entweder a oder 
a 2 — i ober a 1 -f- 1 durch 5 theilbar, mithin ist a(a 2 — 1 )(a 2 + 1) 
— a 5 — a durch 5 theilbar, d. h. a 5 = a, mod 5 und mod 2, folg 
lich auch mod 10. Die 5ten Potenzen haben dieselben Einer als die 
Zahlen. 
Nach dem Modul 13 sind die Potenzen 57, 57 2 , 57 3 , . . der 
Reihe nach congruent mit 5, -1,-5, 1 in periodischer Wiederkehr. 
Nach dem Modul 11 sind 9, 92, 9 3 , . . der Reihe nach congruent mit 
— 2, 4, 3, 5, 1; nach dem Modul 5 sind dieselben Potenzen der 
Reihe nach congruent mit — 1, 1. Nach dem Modul 15 sind 12, 12 2 , 
12 :! , . . der Reihe nach congruent mit — 3, — 6, 3, 6. 
21. Wenn der Modul eine Primzahl p und der Dignand a durch 
p nicht theilbar ist, so bilden die Reste der Potenzen d, a 2 , a 3 , . . 
Perioden von höchstens p — 1 Gliedern, indem a?- 1 = 1, aP = a,. 
mod p*). Wenn der Modul eine zusammengesetzte Zahl k und a prim 
zu k ist, so bilden die Reste von a, a 2 , a 3 , . . Perioden von höchstens 
<p(fc) d. i. so viel Gliedern, als Zahlen der Reihe 1, 2, . ., k prim 
zu k sind, indem a^ (k) = 1, mod k. 
Nach dem Modul 5 hat 3* den Rest 1, nach dem Modul 37 hat 
5 33 den Rest 1. Nach dem Modul 7 hat nicht nur 2 3 , sondern auch 
schon 2 3 den Rest 1; nach dem Modul 13 hat 5 12 , aber auch schon 5 4 
den Rest 1. Weil <p(15) — 8, so ist 2 3 ^ 1, mod 15; es hat aber 
auch schon 2 4 nach dem Modul 15 den Rest 1. 
Beweis. Wenn a, 1a, 3a, . . nach dem Modul p die Reste 
r tf r 2> r, it ■ • haben, so sind die Producte 1 . 2 . 3 ... (p — ljaP- 1 
und r t r 2 r s . . r p _i congruent (18). Weil a prim zu p, so sind die 
Neste r y , r 2l . . von 0 verschieden und incongruent (19), mithin Zahlen 
der Reihe 1, 2, . p — 1, so daß ihr Product den Werth 1.2.3 
...(-, — 1) hat. Dieser Werth ist prim zu p, folglich (18, III) a^' 1 
~ 1, mod p. Die Congruenz aP = a, mod p findet auch dann noch 
statt, wenn a durch p theilbar ist. 
Wenn der Modul die zusammengesetzte Zahl fc ist, und die Zahlen 
der Reihe 1, 2, . . . k, welche prim zu k sind und deren es cp(k) giebt, 
durch ^1, K'2, ^3, -. bezeichnet werden, wenn ferner die Zahlen dk if ak 2l ak z , 
*) Fermat's Lehrsatz (1640). Die Ausdehnung dieses Satzes auf zusammen 
gesetzte Moduln hat Euler gefunden Nov. Conam. Petrop. 8 p. 74. Vergl. Gauß 
Disq. arithm. 50. Der obige einfache Beweis ist von Dirichlet gegeben worden 
Crelle I. 3 p. 390 und Zahlentheorie §. 19.