§. 13. THeilbarkeit der Zahlen. 
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. . nach dem Modul k die Reste r lf r.,, r ;i , . . haben, so ergiebt sich 
wiederum durch Multiplication 
. . = r ] r 2 r d . ., mod k 
Nach der Voraussetzung sind a und k relative Primzahlen, k i , k 2 , fc 3 , 
. . incongruente Zahlen, also sind auch r lf r 2 , r 3 , . . incongruent, von 
0 verschieden und prim zu k, mithin Zahlen der Reihe k it k 2 , fc 3 , . ., 
so daß r x r 2 r. 3 . . = k y k 2 k 3 . ., u. s. w. 
22. Alle durch k nicht Heilbaren Quadrate sind nach dem Modul 
k mit gewissen Zahlen der Reihe 1, 2, . ., k — 1 congruent, mit den 
übrigen nicht. Die erstern Zahlen (und die mit ihnen congruenten 
Zahlen) heißen die quadratischen Reste von k, die übrigen heißen 
die quadratischen Nicht-Reste von k*). 
Weil (k + x) 2 — x 2 durch k theilbar ist, so ist 
(k + x) 2 = x 2 , mod k 
und man braucht, um die Reste aller Quadrate nach dem Modul k 
d. h. alle quadratischen Reste von k zu finden, nur die Reste der 
Quadrate von 1, 2, . ., $(fc — 1) oder |fc, je nachdem k ungerade 
oder gerade, aufzusuchen. Der Charakter einer Zahl wird dadurch 
bestimmt, daß man entscheidet, ob sie zu den (quadratischen) Resten oder 
zu den Nichtresten von k gehört. 
Da (a + 1)2 ------ a 2 -j- (2a + 1) ist, so kann man die Quadrate 
von 1, 2, 3, .. durch Addition der ungeraden Zahlen bilden, 2 2 -----l 2 + 3, 
3 2 ----- 2 2 + 5, u. s. w., und die folgenden Reste aus dem jedesmal 
vorhergehenden Rest, indem man zu ihm eine ungerade Zahl addirt, 
ableiten. Z. B. nach dem Modul 13 sind I 2 , 2 2 , 3 2 , 4 2 , 5 2 , 6 2 der 
Reihe nach congruent mit 1, 1 Z- 3, 4 -s- 5, 9 7 == 3, 3 + 
12 -f- 11 == 10; alle Quadrate, in denen 13 nicht aufgeht, congruireu 
nach dem Modul 13 mit eiyer der Zahlen 1, 3, 4, 9, 10, 12, welche 
die (quadratischen) Reste von 13 heißen, während 2, 5, 6, 7, 8, 11 
die Nichtreste von 13 sind. 
3 
5 
7 
9 
11 
1 3 
14 hat die Reste 
1 
4 
9 
2 
11 
8 
7 
Nichtreste 
3 
5 
6 
10 
12 
13 
3 
9 
9 
11 
1 3 
4 
15 hat die Reste 
1 
4 
1 
10 
6 
Nichtreste 
2 
3 
5 
7 
8 
11 
12 
9 
11 
1 3 
15 
17 hat die Reste 
i 
4 
9 
16 
• 8 
2 
15 
Nichtreste 
3 
5 
6 
7 
10 
11 
12 
*) Diese für die Arithmetik wichtige Unterscheidung ist von Euler (Opus«, anal. 
I p. 263) gemacht worden. Vergl. Gauß Disrp aritilini. 94ff. Dirichlet Zahlen 
theorie §. '32 ff. 
Baltzcr. I. 6. Ausl. "