§. 14. Quadrat einer Deeimalzahl.
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Aus diesen \{p — 1) Congruenzen schließt man (18, II)
mm Y m. 2 . . nn y n 2 . . = mod p
l"2 • '
Nun ist mm y m 2 . . nn y n 2 ..= 1.2.3 . . . (p — 1), u. s. w.
Wenn a ein Rest von p ist, so lassen sich Zahlen m, m,, m 2 , . .
der Reihe 1, 2, — 1 nach Ausschluß von zwei bestimmten Zah
len k und p — k mit andern Zahlen n, n y , n 2 , . . derselben Reihe
dergestalt paaren, daß mn = m 1 n ] = w? 2 w 2 = mod p. Aus
diesen |-(p — 3) Congruenzen folgt
Nun ist k(p — k) = — k 2 = — a, mod p, folglich durch Multi
plication
1 . 2 . 3 . . (p — 1) = — a* (p -i) t mod p
25. Wenn p eine Primzahl ist, so ist*)
1 . 2 . 3 . . . (p — 1) = — 1, mod p
Denn 1 gehört zu den quadratischen Resten von p, und l‘ fp_1) — 1,
folglich u. s. w. (24). Umgekehrt schließt man, daß p eine Primzahl
ist, wenn p in l . 2 . 3 . . . {p — 1) 4~ 1 aufgeht; wäre p durch
eine kleinere Zahl q theilbar, so ginge q in 1 . 2 . 3 .. (p — 1) auf,
also nicht in 1 . 2 . 3 . . . (p — 1) + 1.
Wenn p eine Primzahl und a durch p nicht theilbar, so ist ct2(p-n
kongruent entweder mit 1 oder mit —1, je nachdem a von p ein
quadratischer Rest oder ein Nichtrest ist**). Nach dem eben bewiesenen
Satze ist 1 . 2 . 3 ...(/, — 1) = — 1, folglich u. s. w. (24).
Weil p entweder in a^p- 1 ) — \ oder in a^p- 1 ) -j- i aufgeht, so
geht es immer in dem Product dieser Formeln d. i. ap- 1 — 1, auf, wie
der Fermat'sche Satz (21) aussagt.
1. Das Quadrat eines Polynomium besteht aus dem Quadrat
des ersten Gliedes, dem doppelten Product des ersten Gliedes mit dem
zweiten nebst dem Quadrat des zweiten Gliedes, dem doppelten Product
der ersten 2 Glieder mit dem dritten nebst dem Quadrat des dritten
Gliedes, dem doppelten Product der ersten 3 Glieder mit dem vierten
nebst dem Quadrat des vierten Gliedes, u. s f.
*)Wilson's Satz (1770). Vergl. Gauß visg. arithm. 76.
**) Euler's Satz (Opusc. anal. I p. 263). Ueber die Theilbarkeit von 10 p — 1
und 10 p -f 1 durch die Primzahl 2p -f- l vergl. Euler Hist, de i’Acad. de
Berlin 1772 p. 35.
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