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Allgemeine Arithmetik. 
durch ihren Abstand voni Nullpuuct angegeben, also nach dem Pytha 
goreischen Satz durch die positive Quadratwurzel von a 2 -s- b-. Die 
Zahlen a -f- ib, a — ib, —a -f- ib, — a — ib sind von gleicher 
Größe, welche sowohl die Größe von a als auch die Größe von b über 
trifft. Aus einem um den Nullpunct beschriebenen Kreis liegen unendlich 
viel Zahlen gleichen Betrages, darunter 2 reale und 2 imaginäre. Die 
Größe der Differenz c -f- id — (a + ib) d. i. o — a -f- i\d — b) 
ist die Hypotenuse der Catheten c — a und d — b, der Abstand des 
Punctes c -j- id von dem Punct a -f- ib. Vergl. unten §. 31, 11. 
Die Multiplication mit einer complexen Zahl besteht aus den Multi 
plicationen mit ihren Gliedern, so daß 
(a -f- ib) (c -j- id) — ac + ibc -j- iad — bd 
— ac — bd -j- i(bc -f- ad) 
(tt -f- ib)(a — ib) — a- -f- ¿ 2 
Die Complexen a ~f- ib und a — ib, deren Summe und Product 
real ist, heißen conjugirt; die reale Zahl a l -f S 2 , fcurc ^ 
a Z- ib und durch a — ib theilbar ist, heißt die Norm der conjugirten 
Complexen a -f- ib und a — ib, das Quadrat ihres Modul. Die Summe 
der conjugirten Complexen 
(a -j- iß)(a ib)- -s- (« — iß)(a — ib) 2 
— ‘2a ct 1 — Aß ab — 2 ab- — —(« 2 a 2 — 2 aßab — a-b-] 
= («« — ß b )‘ l — (« 2 H- ß 2 ) b ~\ 
enthält ein positives und ein negatives reales Glied. 
Die Norm des Products complexer Zahlen ist das Product ihrer 
Normen, weil pq . pq — pp . qq) in der That ist für das obige 
Beispiel 
{ac — bd)' 1 -j- (bc -f- ad) 1 — (a 2 -j- ¿> 2 )(c 2 -j- d' 1 ) 
Die Division durch eine complexe Zahl kann in die Multiplication 
mit der conjugirten Zahl verwandelt werden, wenn man durch die Norm 
dividirt, weil 
1 a — ib 
a Z- ib a 2 -j- b- 
Die positive Quadratwurzel ein complexen Zahl ist nach (3) 
yx+TS = \ sv " ! - f ~" + ,yy^+J 2 - <* 
, ib = j/w+i*±_° _ ¡yvj'+j 
wenn die Quadratwurzeln positiv genonnnen werden.