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Allgemeine Arithmetik. 
I. Wenn a eine mit Wurzel von 1 und k eine beliebige ganze 
Zahl ist, so ist auch « k eine mit Wurzel von 1, und a m+k von a k nicht 
verschieden. Denn O k )^ = (a m ) k = l k — 1, a m+k = a m a k = cc\ 
II. Wenn k prim zu m ist, so ist eine von 1 verschiedene kit 
Wurzel von 1 nicht zugleich eine mte Wurzel von 1. Man bilde von 
k nach dem Modul m deu Rest p, ferner von m nach p den Rest q, 
von p nach q den Rest r, u. s. w. Die Reihe dieser Reste geht bis 
auf 1 herab, weil k prim zu m (§. 13, 3). Eine von 1 verschiedene 
kit Wurzel von 1 wird durch a bezeichnet, so daß « k ---- 1. Wäre nun 
zugleich a m = 1, so wäre auch « p 1, weil 
« k = c;mitp _ a mx a v _ a p 
Ebenso würde man schließen, daß a p == 1, a T = 1, u. s. w., daß 
endlich a — l. Dieß ist gegen die Voraussetzung, also kann nicht 
1 sein. 
III. Wenn a eine eigentliche rote Wurzel von 1 ist, so sind a, a 2 , a 3 , 
. ., a m von einander verschieden. Gesetzt, a T und a 8 wären einander 
gleich, wobei r und s Zahlen der Reihe 1, 2, . ., m bedeuten, so wäre 
a 1 : a 8 = a 1 ' 8 = 1, mithin a keine eigentliche mit Wurzel von 1. 
Also sind a T und u* verschieden. 
IV. Wenn a eine eigentliche mte Wurzel von 1 und k prim zu 
m ist, so ist auch « k eine eigentliche mit Wurzel von 1. Denn (« k ) x — 
ß kx ist nur dann 1, wenn m in kx aufgeht. Nun ist k prim zu m, 
also kx nur dann durch m theilbar, wenn m in x aufgeht (§. 13, 4). 
V. Wenn a und ß eigentliche mte und nit Wurzeln von 1 sind, 
und m prim zu n, sy ist aß eine eigentliche mnit Wurzel von 1 d. h. 
(aß)* nur dann 1, wenn x durch mn theilbar ist. Ist x durch m theilbar 
und durch n nicht theilbar, so ist « x = 1, ß= von 1 verschieden, also 
(«st) x nicht 1. Ist weder durch m noch durch n theilbar, so sind 
« x und ß x — 1 : /3 n ‘ x von 1 verschieden. Nun ist a x eine mit Wurzel 
von 1, und ß n_x eine nte Wurzel von 1, also a x von /5 n ' x verschieden 
(II), folglich a x : ß n_x = — {aßY nicht 1. 
Z. B. Wenn a eine eigentliche mit Wurzel von 1 und m ungerade 
ist, so ist — a eine eigentliche 2mte Wurzel von 1, ia eine eigentliche 
4mte Wurzel von 1. Und wenn m durch 3 nicht theilbar ist, so ist 
■£(— 1 + 3)a eine eigentliche 3mte Wurzel von 1, u. s. w. 
übertragen von Meier Hirsch algebr. Gleichungen 1809 §. 88. Zur Verhütung 
von Mißverständnissen hat Gauß (Werke II, p. 243) den Ausdruck eigentliche (pro- 
pria) Wurzel gewählt. Die folgenden Sätze gründen sich auf die'Bemerkungen 
Euler's (1741 Comm. Petrop. 18 p. 50) und Lagrange's (Mém. de Berlin 
1770 Réflexions 24. Traité des équat. Note 13).