§. 19. Der Logarithmus. 
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§. 19. Der Logarithmus. 
(Heis 88. 56. 57.) 
1. Der «-Logarithmus einer Zahl ist die Zahl, mit welcher 
« (die Basis) potenzirt die Zahl (den Numerus) giebt, so daß 
Basis Logarithmus = Numerus 
Die Basis wird als positiv real und von 1 verschieden vorausgesetzt. 
Jede positive Zahl x kann als eine Potenz der Basis « vorgestellt 
werden, der erforderliche Exponent ist der «-Logarithmus der Zahl x 
und wird durch ‘‘log x bezeichnet. 
2 log 32 = 5, weil 2 5 = 32 
3 log 9 = 2, weil 3 2 = 9 
10 log 10000 = 4, weil 10 4 = 10000 
5 log ih = — 3, weil 5‘ 3 = yfg- 
a log « m — m, a log 1 = 0 
Wenn die Basis « >- 1, so sind die Logarithmen der Nummern 
über 1 positiv, der Nummern unter 1 negativ, a log co — go, a iog 0 
= — co (§. 17, 6. §. 11, 8). Wenn die Basis « < 1, so sind die 
Logarithmen der Nummern über 1 negativ, der Nummern unter 1 positiv, 
»log oo = — oo, a log 0 = oo. Die Logarithmen negativer Nummern 
sind nicht real. Wenn der Numerus keine Potenz der Basis ist, so 
kann man die Wurzeln der Basis zu Hülfe nehmen, um den Logarith 
mus zu begrenzen (§. 20, 3). 
2. Nachdem die Zahlen b und c als Potenzen der Basis « mit 
Hülfe ihrer «-Logarithmen ß und y dargestellt worden sind, 
b — aß f c — a? 
so kann c sofort als Potenz der Basis b dargestellt und der ö-Loga- 
rithmus von c angegeben werden, weil nach §. 18, 6 
i y 
a — bß, c = a? — bß 
d. h. der ö-Logarithmus von c ist der Quotient des «-Logarithmus von 
c durch den «-Logarithmus der Basis S: 
a 1og c 
a log b 
b log c 
3. Der Inbegriff der Logarithmen aller Zahlen für eine bestimmte 
Basis heißt ein Logarithmensystem. Aus einem Logarithmensystem 
kann man ein anderes Logarithmensystem ableiten, indem man die Loga 
rithmen des gegebenen Systems durch den Logarithmus der Basis des 
andern Systems dividirt (2). Z. B. die 2-Logarithmeu werden erhalten, 
wenn man die 10-Logarithmen durch w ic>g 2 dividirt.