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Allgemeine Arithmetik. 
Bei dem gemeinen Rechnen werden die 10-Logarithmen gebraucht, 
welche deshalb gemeine Logarithmen (vulgares, Briggiani, decadische) 
heißen. Bei ihrer Bezeichnung wird die Basis weggelassen. 
In der mathematischen Analysis kommen nur die natürlichen 
Logarithmen (naturales, l^exeriani, hyperbolici) in Betracht, deren 
Basis die irrationale Zahl 
* “ 2 + 172 + r~¥73 + TT2T3T4 + • • • = 2 ' 71828 • • 
ist; so genannt, weil sie direct (ohne Begrenzungen) sich berechnen lassen. 
Bergt. §. 32. Die Bezeichnungen 
e log x t log. nat. x, ln x, lg 1 x 
drücken sämmtlich den natürlichen Logarithmus von x aus. Alle andern 
Logarithmen, z. B. die gemeinen, werden künstliche Logarithmen 
(artiüoiosi) genannt, weil (2) 
log. nat. x; 1 _ _ , log. nat. x 
a log x 
log. nat. a ' 
log. vulg. x 
log. nat. 10 
= U' X 0,4343 
Der reciproke natürliche Logarithmus der Basis, mit welchem die 
natürlichen Logarithmen multiplicirt werden müssen, um künstliche Loga 
rithmen zu werden, heißt der Modulus des künstlichen Systems*). 
Unter Voraussetzung gemeiner Logarithmen ist dagegen 
log. nat. x = — log. x x 2,3026 
log e 
4 Der Logarithmus eines Products ist die Summe der Loga 
rithmen der einzelnen Factoren. Für die Basis a ist 
log (xy) — log x + log y 
weil a l0 S x + log y = a log X ct log y = X y (§. 18, 6). 
Anmerkung. Weil x = x . 1, —x = a;(— 1), so ist unter 
der Voraussetzung a z — x 
log x = z log 1, log (— x) = z + log (— 1) 
log (ix) — Z -J- log i 
*) Die Logarithmen (numeri rationem exponentes s. rationum compositarum) 
sind erfunden und benannt von Neper (Lord John Napier), der in Mirifici loga- 
ritlimorum canonis descriptio 1614 die natürlichen Logarithmen der Sinus und 
Tangenten mittheilte. Das gemeine Logarithmenspstem wurde von Briggs 1618 
eingeführt. Unabhängig von den englischen Erfindungen hat Byrg ein künstliches 
Logarithmensystem construirt (Arithm.u. geometr.Progreß-Tabuln.Prag 1620), indem 
er die Potenzen der Basis 1,0001 berechnete. Byrg's Tabellen enthielten neben den 
einzelnen Logarithmen die dazu gehörigen Nummern, und waren mithin ein Oanon 
antilogarithmicus nach einem von Wallis (Algebra c. 12) gebrauchten Ausdruck. 
Vergl. Gieswald über Byrg im Danziger Schulprogramm 1856. Die Quadratur 
hyperbolischer Sectoren und Segmente mittelst der natürlichen Logarithmen wurde 
1668 von Nie. Mercator und von Jac. Gregory gelehrt. Vergl. Klügel math. 
W. III. p. 531 ff. Der Name „Modulus eines künstlichen Logarithmensystems" ist