§. 20. Die gemeinen Logarithmen der Decimalzahlen. 119 
Davon hat log 1 den realen Werth 0, während log (— 1) und log i 
reale Werthe nicht haben. Ist aber a ein (imaginärer) Werth von log i 
d. h. a a — i, so ist 2a ein Werth von log (— 1), 3« ein Werth von 
log (— i), 4a ein Werth von log 1, u. s. w. Die Logarithmen sind 
unendlichdeutig. 
5. Der Logarithmus eines Bruches-ist die Differenz des Loga 
rithmus des Zählers und des Logarithmus des Nenners. Für die 
Basis a ist 
log — — log x — log y 
V 
weil a log x - l0 « y = a log x : a log y = x : y. 
Die Logarithmen reciproker Zahlen sind entgegengesetzt gleich: 
1 
log — — — log x, weil log 1=0 
6. Der Logarithmus einer Potenz (im weitern Sinne) ist das 
Product des Logarithmus des Dignanden mit dem Exponenten. Für 
die Basis a ist 
log x m — m log x 
weil a m log x = (a log x ) m — x m . 
log x 3 — 3 log x, log ar 4 = — 4 log x 
5 _ 2 
log y~X 2 — log x° — |- log X 
§. 20. Die gemeinen Logarithmen der 
D e c i m a l z a h l e n. 
(Heis 8- 58.) 
1. Der gemeine Logarithmus einer Decimalzahl besteht aus einer 
ohne Rechnung sofort angebbaren positiven oder negativen ganzen Zahl, 
welche die Kennziffer oder Charakteristik des Logarithmus heißt, und 
aus einem echten Decimalbruche, der die Mantisse des Logarithmus' 
(manti88a = Zugabe) heißt. 
a. Bei positiver Mantisse hat die Kennziffer so viel positive 
Einheiten, als der Numerus Decimalstellen über den Einern hat. oder 
soviel negative Einheiten, als der Numerus Nullen vor der höchsten 
Decimalstelle hat. 
von Cotes Philo«. Trans. 1714 p. 6 zuerst gebraucht worden. Die jetzt übliche 
Darstellung der Lehre von den Logarithmen scheint durch Euler 1748 (IntrocL I. 
§. 102 ff.) begründet worden zu sein.