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Allgemeine Arithmetik. 
Die Bildung der Binomialcoefficienten aus dem Exponenten war durch die 
von Fermat und Pascal erfundenen Formeln der figurirten Zahlen vorbereitet. 
Vergl. Fermat's Brief an Roberval 1636 Nov. 4 und Oeuvres äe Pa8ca1 ed. La- 
hure 1858, II. p. 443. 452. 403. Die Binomialcoefficienten und das Binomial- 
theorem für positive ganze sowie für beliebige reale Exponenten hat Newton erfun 
den und in den Briefen an Oldenburg 1676 Juni 13 und Oct. 24 mitgetheilt. Die 
Bezeichnung kommt zuerst in nachgelassenen Abhandlungen Euler's vor. Acta 
Petrop. V, 1 p. 89 und V, 2 p. 76. Nov. Act. Y p. 52. 
2. Die Zahlen 
m(rn — 1) m(m — 1 ){m — 2) 
1.2.3 
werden der Reihe nach durch 
bezeichnet. Die Formel i j, zu lesen m über k, bedeutet das Product 
von k Factoren, die von m in natürlicher Reihe absteigen, dividirt durch 
das Product von k Faktoren, die von 1 aufsteigen, 
(m\ m{rn — 1) . . (m — k -f- 1) 
\k ) 1 . 2 . . . k 
1) . . (m — k -f- 1) 
1.2.7*: 
der Factor 0 vorkommt. 
Ein Product von Faktoren, deren je zwei folgende dieselbe Differenz 
haben, z. B. a{a -f- b)(a -j- 26)(a -j- 36) u. s. w. (productum con- 
timionim bei Pascal, functio inexplicabilis bei Euler Calc. diff. II 
c. 16 und 17. Vergl. Oettinger Crelle I. 33 p. 1) wird nach Kramp 
1799 eine Facultät genannt (auch Factorielle nach Arbogast). 
Insbesondere wird das Product 1 . 2.3 . . n nach Kramp (Arithm. 
universelle 1808 n° 289) durch n\ bezeichnet und »-Facultät genannt. 
sm\ 1.2... m ml 
\k) ~ üY~k . 1.2 ...(m — k) ~ kl(m — k)l 
woraus unmittelbar folgt, daß