§. 25. Variationen und Combinationen gegebener Elemente. 139 
Wenn ein Element mit dem Nachbar vertauscht wird, so bleibt die 
Stellung der bewegten Elemente gegen die übrigen Elemente unverändert, 
und die Anzahl der vorhandenen Inversionen ändert sich um 1. Um 
die durch k Elemente getrennten Elemente G und II zu vertauschen, 
kann man zuerst G mit dem Nachbar zur Rechten (k -f- 1)mal, dann 
H mit dem Nachbar zur Linken Kmal vertauschen, wobei die Anzahl 
der vorhandenen Inversionen (2k + 1)mal d. i. ungeradmal um 1 sich 
ändert. Durch eine ungerade Menge Aenderungen um 1 wird aus 
einer geraden Zahl eine ungerade, aus einer ungeraden Zahl eine gerade, 
also ist in beiden Fällen die Differenz der Anzahlen der Inversionen 
eine ungerade Zahl. 
6. Wenn man die Permutationen verschiedener Elemente durch 
Vertauschung von jedesmal zwei Elementen entwickelt (4), so sind die 
in den auseinander folgenden Permutationen vorhandenen Inversionen 
abwechselnd von gerader und von ungerader Anzahl (5). Da die Anzahl 
aller Permutationen gerade ist, so giebt es ebensoviel Permutationen 
der einen Classe (gerade, positive, mit gerader Anzahl von Inver 
sionen), als Permutationen der andern Classe (ungerade, nega 
tive, mit ungerader Anzahl von Inversionen). 
ABCD und CDAB sind Permutationen derselben Classe, weil aus 
der ersten die zweite durch 2 Vertauschungen (A mit C, B mit D) 
entsteht; 31245 und 14325 sind Permutationen nicht derselben Classe, 
weil aus der ersten die zweite durch 3 Vertauschungen (3 mit 1, 4 mit 
2 und 3) entsteht. 
§. 25. Variationen und Combinationen gegebener 
Elemente. 
(Heis 8. 88 ff.) 
1. Variationen Lten Grades von gegebenen Elementen heißen 
die Complexionen von je k aus der Reihe der gegebenen Elemente. Die 
Variationen nten Grades von n Elementen sind von den Permutationen 
derselben nicht verschieden. Variationen (n -s- l)ten Grades von n Ele 
menten können nicht gebildet werden. 
Die Complexionen, welche je k der gegebenen Elemente enthalten, 
von denen aber nicht zwei aus denselben k Elementen gebildet sind, 
heißen die Combinationen Lten Grades der gegebenen Elemente. 
Die Combinationen Iten, 2ten, 3ten,. . Grades werden auch Unionen, 
Binionen (Amben), Ternionen (Ternen), . . genannt.