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Allgemeine Arithmetik. 
mal nur auf eine Art gebildet werden, weil a ö ^ y ) = 1, 
und es giebt 
/n\/rc— a\/n — a — ß\ n! 
X«/ X ß /V y ) «! ß! yl öl 
verschiedene Gruppen AB CD. 
Wenn man in allen Gruppirnngen die Elemente der einzelnen 
Gruppen permutirt, so erhält man alle Permutationen der gegebenen 
Elemente, weil jede Permutation mit a bestimmten Elementen beginnt, 
denen ß bestimmte Elemente folgen, u. s. w. In der That erhält man nl, 
indem man die Anzahl der Gruppirungen mit a! ß! yl 6! multiplicirt. 
Wenn unter den gegebenen n Elementen a einander gleich sind, 
wenn unter den übrigen ß einander gleich sind, wenn unter den übrigen 
y einander gleich sind, wenn die übrigen 8 von einander verschieden 
sind, so besetze man mit diesen Elementen je a, ß, y, 8 Plätze. Aus 
jeder Grupprrung der Plätze entstehn 8! Permutationen. Also giebt es 
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öTftj—! Perlnutationen dieser Elemente*). 
5- Die Combinationen Lten Grades von n Elementen enthalten 
entweder das nte Element nicht, oder sie enthalten dasselbe. Die erste 
Gruppe umfaßt die Combinationen kttn Grades der ersten n — 1 Ele 
mente, die zweite Gruppe umfaßt die Combinationen (k — l)ten Grades 
dieser Elemente, denen das wte Element zugesetzt wird. Also ist 
wie §. 23, 3 arithmetisch bewiesen worden ist. 
Die Combinationen Lten Grades von n Elementen endigen entweder 
mit dem kten Element, oder mit dem {Je + 1)ten Element, oder mit dem 
{k + 2)ten Element, u. s. w. Nun endigen mit dem {k ■+■ m)ten Ele 
ment soviel Combinationen Lten Grades, als es Combinationen (k — l)ten 
Grades der ersten k + m — l Elemente giebt. Also ist 
Durch fortgesetzte Zerlegungen dieser Art bestätigt man, daß eine 
Summe von ganzen Zahlen, folglich eine ganze Zahl ist. 
Die Combinationen L-ten Grades von u 4- v Elementen enthalten 
entweder k Elemente des Shstems von u Elementen, oder k — 1 Ele- 
*) Frénicle Abrégé des combin. 1676 (Ane. Mém. de Paris t. V). Wallis 
Combin. 1685 c. 2.