§. 25. Variationen und Combinationen gegebener Elemente. 
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mente dieses Systems und 1 Element des Systems von v Elementen, 
oder k — 2 Elemente des ersten Systems und 2 Elemente des zweiten 
Systems, u. s. w. Nun können k — m Elemente des ersten Systems 
mit m Elementen des zweiten Systems auf TO )(^) verschiedene 
Arten combinirt werden. Also ist*) 
6. Wenn jedes der n Elemente beliebig oft gesetzt werden kann, 
so giebt es von denselben 
n k Variationen fcten Grades 
k n — 1 
n — 1 
Combinationen Lten Grades 
Beweis. Um aus den Variationen Lten Grades die Variationen 
(k -s- 1)ten Grades zu bilden, setze man zu jeder Variation jedes Element. 
Man erhält also nmal so viel Variationen (k -j- 1)ten Grades als Lten 
Grades. Nun giebt es n Variationen Iten Grades, folglich giebt es n 2 
Variationen 2ten Grades, n 3 Variationen 3ten Grades, u. s. w. 
Combinationen 2ten Grades von der geforderten Art giebt es mit 
1 anfangende n, mit 2 anfangende n — 1, u. s. w., zusammen (5) 
î) + 
n — 1 
1 
+ • • + ( t ) = 
n -f- 1 
2 
Combinationen 3ten Grades giebt es demnach mit 1 anfangende 
n -s- 1 
2 
mit 2 anfangende ( ), u. s. w., zusammen 
Gesetzt es giebt 
n + 1 
2 
n -f- i 
n -f- 2 
3 
Combinationen (r -f- l)ten Grades mit 1 anfangende 
r n -s- i —- 2 
+ 
Combinationen üen Grades, so giebt es 
n -f- i — 1 N 
, mit 2 
anfangende 
( n+ r 
Nun giebt es 
, u. s. w., zusammen 
” + 2\ + + 
n -j- Ï 
i + 1 
n + 2 
3 
) Combinationen 3ten Grades, also giebt es 
n -|- 3 
4 
Combinationen 4ten Grades, u. s. w. 
') Euler. Vergl. die Anmerkung zu §. 23, 1 und §. 32, 2.