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Allgemeine Arithmetik.
Demnach giebt es ebensoviel Combinationen Lten Grades von n Ele
menten, deren jedes Lmal vorhanden ist, als von n -j- k — 1 Elementen,
deren jedes Imal vorhanden ist (2). In der That findet man aus
jenen Combinationen diese, wenn man in jeder Combination die Ele
mente der Reihe nach um 0, 1, 2, . ., fc— 1 erhöht.
Anmerkung. Die Anfänge der Combinatorik finden sich im 16ten Jahrhun
dert. bei Buckley, Card an o ü. A. Die erste größere Abhandlung über Combi
nationen hat Pascal um 1650 verfaßt, in der er mit Fermat zusammentreffend
den Zusammenhang der Combinationszahlen mit den figurirten Zahlen erläuterte
(Oeuvres ed. Lahure II. p. 423 ff.). Leibniz's Abhandlung de arte combinatoria
1666 enthält nicht sowohl theoretisch Neues als vielmehr Anwendungen der Lehre von
den Permutationen und Combinationen. Der heutige Bestand der Combinatorik findet
sich vollständig in Jacob Bernoulli's ars conjectandi (op. posth. 1713). In
diesem Buche kommt der Name Permutationen vor, wofür Wallis Alternationen,
Leibniz Variationen gebraucht hatte. Der Name Complexionen bedeutet bei Leib-
niz Combinationen; der Name Variationen hat seine combinatorische Bedeutung gegen
das Ende des 18ten Jahrhunderts erhalten.
§. 26. Determinante eines Systems von Zahlen.
1. Wenn ein Quadrat von Elementen gegeben ist d. h. n 2 Ele
mente (Zahlen), je n in n Reihen geordnet, von denen das Lte der üen
Zeile (das ite der ^ten Colonne) durch a ik bezeichnet wird, z. B.
so versteht man unter der Determinante*) dieses Systems ein be
stimmtes Aggregat aller Prodncte von je n Elementen, deren nicht zwei
einer Zeile oder einer Colonne angehören. Wenn fgh . . eine Permu
tation bestimmter Classe (§. 24, 6) der Zeilen-Nnmmern, rst . . eine
Permntation derselben Classe oder nicht derselben Classe der Colounen-
Nummern, und e in dem ersten Fall 1, in dem andern Fall — 1
bedeutet, so ist das Product £« fr a gB a ht . . ein Glied der Determi
nante. Insbesondere ist das aus der Diagonale an • • a nn gebildete
Product ein Glied der Determinante, das Anfangsglied derselben.
Aus einem Glied der Determinante z. B. an «22 «33 • • leitet
man alle Glieder mit den zugehörigen Zeichen ab, indem man bei un
veränderten Zeilen-Nummern die Colounen-Nummern oder bei unver
änderten Colonnen-Nummern die Zeilen-Nummern durch alle ihre Per-
*) Die Geschichte und die weitere Entwickelung dieser Formen findet man in der
Schrift des Vers. über Determinanten.
