146 
Allgemeine Arithmetik. 
2. Wenn im System der Elemente zwei parallele Reihen ver 
tauscht werden, so wechselt die Determinante das Zeichen. Wenn im 
System der Elemente zwei parallele Reihen einander gleich sind, so hat 
die Determinante den Werth 0. 
Beweis. Ist R die Determinante des gegebenen Systems, R' bie 
Determinante des Systems, das aus,dem gegebenen System durch Ver 
tauschung von zwei parallelen Reihen abgeleitet worden, und m ix a gB a ht 
. . ein Glied von R, so ist — a ga ct ht . . ein Glied von R r . 
Denn bei unveränderten Colonnen ist fgh . . eine Permutation der 
einen Classe für die Zeilen-Nummern des ersten Systems, und eine 
Permutation der andern Classe für die Zeilen-Nummern des zweiten 
Systems (§. 24, 5); bei unveränderten Zeilen ist r st . . eine Permu 
tation der einen Classe für die Colonnen-Nnmmern des ersten Systems, 
und eine Permutation der andern Classe für die Colonnen-Nnmmern 
des zweiten Systems. Daher sind die Glieder von R. den Gliedern 
von R der Reihe nach entgegengesetzt gleich, d. h. R' = — R. 
Wenn die vertauschten Reihen einander gleich sind, so ist R' von R 
nicht verschieden, also R = — R d. h. 2L — 0 bei beliebigen Elementen. 
ßj by Cy 
ßj b | 
«2 b 2 c 2 
by Cy 0>y 
ct 2 ^2 ^2 
----- — 
ct 2 c 2 b 2 
— 
------ 
Z> 2 C 2 ct 2 
Kg ög Cg 
Kg Cg ög 
#3 ^3 ^3 
öz Cg ctg 
a a x a a 2 
b b x b b 2 
c Cy c c 2 
d d y d d 2 
3. Wenn man von dem System der n 2 Elemente m Zeilen aus 
wählt und von diesen ebensoviel Colonnen, so erhält man ein partiales 
System von m 2 Elementen, dessen Determinante eine Subdeter- 
minaute mten Grades für das gegebene System heißt. Es giebt deren 
f 71 \ /TI \ ^ 
( J für die Zeilen-Combination, also ( j für das gegebene System, 
und ebensoviel Subdeterminanten (n — m)ten Grades (§. 25, 2). Dem 
nach kommen bei dem gegebenen Systein in Betracht außer der Deter 
minante nttw Grades 
n 2 Subdeterminanten (n — l)ten Grades 
f 7l\^ 
^2) Subdeterminanten (n — 2)ten Grades 
u. s. w. Subdeterminanten ersten Grades sind die einzelnen Elemente. 
Die Combinationen von je m unter den Nummern 1 bis n, deren 
e@ f* = ( n \ giebt, werden beliebig nnmmerirt, und die zu der rten