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Allgemeine Arithmetik. 
n — Je ersten Gliedern der Binomien und den zweiten Gliedern der 
übrigen Binomien. Der Coefficient von x k ist demnach die Summe 
der Produkte von je n — fc verschiedenen Größen aus der Reihe 
a lf a 2 , . ., a n . Um diesen (Koefficienten zu berechnen, bildet man die 
Combinationen (n — L)ten Grades der Elemente a u « 2 , .., « n . Z. B. 
{ax){bx)(cx)(dx) — ctbcd-\-(abc-\-abd-\-acd-\-bcd)x 
-)- (ab -f- ac-j- ad +■ bc -f-bd-\- cd) x 1 -j- (a -f- b-\-c -j- d) x 3 -\-x* 
Wenn insbesondere alle Glieder a ir a 2 , . a n einander gleich 
sind und den Werth a haben, so ist der Coefficient von x k die Summe 
n 
n 
n — k 
von ( _ fc J Gliedern, deren jedes den Werth hat. Da aber 
ist, so erhält man 
(a + x) u == « n -j- 
+ 0 
,n-2 
X 1 -f- 
wie §. 23 ans andern Gründen entwickelt worden ist. 
2. Die Potenz (a -f- b -j- c + . .) n giebt entwickelt eine Summe 
von Gliedern, die je n Factoren aus der Reihe a, b, c, .. enthalten 
und aus der allgemeinen Formel 
ul ß\ y\ . . 
dadurch hervorgehen, daß u r ß, y, ... auf alle mögliche Arten gleiche 
oder ungleiche Werthe von 0 bis n erhalten, deren Summe jedesmal 
n beträgt*). 
Beweis. Aus der Reihe der n Polynomien a + b + c + .. 
wähle man u, um aus ihren ersten Gliedern a a zu bilden. Aus den 
übrigen n — u Polhnomien wähle man ß, um aus ihren zweiten Glie 
dern bß zu bilden. Aus den übrigen n — u — ß Polhnomien wähle 
man y, um aus ihren dritten Gliedern c y zu bilden, u. s. f. Wenn 
man das Product a a bßc y .. auf alle mögliche Arten gebildet hat, so 
hat man alle Glieder der gesuchten Potenz. 
Man kann aber a a auf i ) verschiedene Arten bilden, weil es 
soviel Combinationen «ten Grades der n Polhnomien giebt. Man kann 
dann ebenso bß auf ( n ~ verschiedene Arten, dann c y auf ^ 
verschiedene Arten, u. s. w. bilden. Man kann folglich a a bß auf 
*) Leibniz an Joh. Bernoulli 1695 Mai A. Vergl. Klügel math. 
p. 832.