§. 27. Producte und Potenzen von Polynomien.
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Ist r, s, t, u, v eine dieser Complexionen, so hat das Glied
a T a s «t ö u a v x
.r + s-i-t+u f-v
den Coefficients 1, wenn 5 gleiche Indices vorhanden sind,
5.
20,
60,
30,
10,
4 -
3 -
2 -
2u.2-
2u.3-
- - 120, wenn alle Indices verschieden sind.
Die gesuchte Potenz ist demnach:
+ 5a 0 4 a, X -f- 5^ •
10a 0 3
+ 5 a ( 4
a.
20a o 3 « 1 a 3
a,
a
10a 0 3 a 2 2
30 «o 2 «^ 2
5« 0 «, 4
a o
* 4 + 5a 0 4 a 5
20« 0 3 «i «4
20«o 3 a 2 a 3
30ß 0 2 a x 2 « 3
30« 0 2ct i a 2 2
20a 0 ct i 3 a 2
a? :> +
x 2 -¡- 5«o 4 «3
20« 0 3 «t
10ß 0 2 «, 3
5«0 ^6
20« 0 3 a 1
20ö r 0 3 a 2 ö 4
10^O 3 «z 2
30« 0 2 « L 2 a 4
60« 0 2 a 4 a 2 « 3
10a n 2 a 2 3
20a 0 st, 3 «3
30a 0 a 4 2 a 2 2
5tt, 4 a.
4
1 “2
+
4. Wenn man in der Reihe der Größen a x , a 2 , . ., « jede
Größe von allen folgenden subtrahirt, so erhält man (”) Differenzen,
deren Product sich auf eine Determinante reducirt, nämlich*)
(«2 — a,)(>3 — a x ) .
. (®n
— stj)
1
a 4
«] 2 .
. st,"' 1
(a 3 — a 2 ) .
. («n
— «2) =
1
«2
«2 2 -
- «2 n_1
(«n
^n-l)
1
«n 2 -
ön 11 " 1
Beweis. Sind i, k beliebige Zahlen ans der Reihe 1, 2, . ., n,
und zwar i <C L; ist P das gesuchte Product, Q das Product der
Differenzen, welche die Größen a { und a k nicht enthalten, R das
Product der Differenzen, welche die Größe a ir aber nicht a k enthalten,
S das Product der Differenzen, welche die Größe a kf aber nicht «,•
enthalten, so ist P — QRS(a k — a{}. Wenn nun a { mit a k ver-
9 Cauchy's Lehrsatz. Verczl. des Verf. Determ. 8- IO.