206 Kap. 6. Die Pfaff’scheu Gleichungen und die Nullsysteme.
' i-tes.
Function cu enthalten, was ja bei den ursprünglich als bekannt voraus
gesetzten oo 2 Integraleurven (23) nicht der Fall war.
Hiermit haben wir den folgenden Satz erhalten, der von Pfaff
herrührt:
Satz 5: Kennt man oo 2 Integraleurven
u(x, y, z) — Const., v(x, y, z) = Const.
der Pfaff’sehen Gleichung
Xdx -{- Ydy -f- Zdz — 0,
anders ausgesprochen: besteht identisch eine Gleichung von der Form:
Xdx -f- Ydy -f- Zdz — a(x, y, z) du -j- ß(x, y, z) dv,
so findet man beliebig viele Integraleurven der Pfaff’sehen Gleichung in
der Form:
v — ft>(w) = 0, a -j- ßco' (u) = 0.
Hierin bedeutet co eine willkürliche Function von u *).
§ 3. Nullsysteme.
In den verschiedenen Gebieten der reinen und angewandten Mathe
matik haben specielle Pfaff’sche Gleichungen eine Rolle gespielt, wenn
dies auch selten explicite hervortrat. Insbesondere gilt dies auch
von der Kinematik, und auf die hier auftretende Pfaff’sche Gleichung
wollen wir jetzt eingehen.
inf. Be- Wir gehen dabei aus von einer infinitesimalen Pewcaung des Baumes
egung im ö 1 j j
Baume. ^ y, ^ Unter einer infinitesimalen Bewegung ist eine solche infini
tesimale Transformation des Raumes
(26) dx = l{x, y, z) dt, dy = rj(x,y,z) dt, dz = Z(x,y, z) dt
zu verstehen, die jede Strecke in eine Strecke von gleicher Länge
überführt. Sie kann also analytisch definiert werden als eine solche
infinitesimale Transformation, die das Quadrat des Bogenelementes
dx 2 -f- dy 2 -f- dz 2
invariant lässt, für die daher
d(dx* + dy 2 + dz 2 ) = 0
oder also
dxddx -f- dy d dy -f- dz d dz — 0
ist. Hierbei machen wir, wie schon gelegentlich früher, davon Gebrauch,
*) Die Entwickelungen dieses Paragraphen, die, abgesehen von der geo
metrischen Form, von Pfaff und Jacobi herrühren, finden, wie Clebsch zeigte,
in v. Helmholtz’ Wirbeltheorie eine schöne Illustration und Verwertung. (Siehe
Crelle’s Journal 55. Pd. (1858) S. 25 sowie 5G. Bd. (1.859) S. 1.)