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Allgemeine Arithmetik. 
vollendet wurde. Vergl. Klüget math. W. I. p. 30 ff. Die Ausdrücke numerus 
verus und fictus (falsus) kommen bei Cardano u. A. vor, die Benennungen 
affirmativ (positiv) und negativ bei Vieta. Aggregat bedeutet noch bei Vieta nur 
eine Summe von positiven Gliedern. Die Bezeichnung eines positiven oder negativen 
Werthes durch einen und denselben Buchstaben kommt bei Descartes (Geom. 1637) 
vor; den Nutzen dieser Bezeichnung mußte noch Newton für Leibniz ausdrücklich 
hervorheben (Brief an Leibniz 1676 Oct. 24). 
tz. 9. Product von Polynomien. 
(Heis 88. 14-16.) 
1. Um ein Polynomium zu multipliciren, hat man seine einzelnen 
Glieder zu multipliciren: 
(a — ö -s- c)m — am — brn -j- cm 
Beweis. Die Summe von m Gliedern, deren jedes a — b -f- c 
ist, hat m Glieder, deren jedes «, ferner m Glieder, deren jedes — b, 
endlich m Glieder, deren jedes c ist (§. 3, 1. §. 8, 3). 
2. Um mit einem Polynomium zu multipliciren, hat man mit sei 
nen einzelnen Gliedern zu multipliciren. Die einzelnen Producte er 
halten die Zeichen der Glieder, mit denen man multiplicirt. 
Beweis. m(a — b -j- c) — (a — b -j- c)m nach §. 3, 3. 
— am — bm -s- cm (1) 
— ma — mb -s- mc 
Anm. Ein Multiplicator kann an sich weder positiv, noch negativ 
sein (§. 3, 2). Mit einer positiven oder negativen Zahl multipliciren, 
sagt man abkürzend für „multipliciren mit der unbezeichneten (absoluten) 
Zahl und das Product addiren oder subtrahiren". 
3. Um ein Polynomium mit einem Polynomium zu multipliciren, 
hat man die einzelnen Glieder des einen mit jedem Gliede des andern 
zu multipliciren. Factoren von einerlei Zeichen geben ein positives, von 
entgegengesetzten Zeichen ein negatives Product*). 
Beweis. (a — b)(c — d) = (a — b)c — (« — b) d nach (2) 
— ac — bc — (ad — bd) nach (1) 
— ac — bc — ad -(- bd nach §. 8, 2. 
Die Producte -s- ac, — bc, — ad, -s- bd kann man ansehen als 
entstanden aus den Multiplicationen von -s- a mit -j- c, — b mit -f- c, 
-s- cr mit — d, — b mit — d (2, Anm.). 
Man findet 
(a — b)(c — d) — — (b — a)(c — d) 
— — (a — b)(d — c) 
= (b — a)(d — c) 
*) Diese Regel wird schon im Alterthum namentlich bei D ioph antus (Arithm. 
I. des. 9) angewendet. Man hatte sie aus Lud. LI. II. abgeleitet.