§. 13. Theilbarkeit der Zahlen.
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von a und b, den größten gemeinschaftlichen Divisor h‘ von h und c,
n. s. w. Jede Zahl, welche in a, b einzeln aufgeht, ist ein Divisor
von ä; jede Zahl, welche in a, b, c einzeln aufgeht, ist ein gemein
schaftlicher Divisor von k und c, also ein Divisor von h\ u. s. w.
4. Wenn a und b prim zu einander sind, so geht jeder gemein
schaftliche Divisor von ak und b in k auf, und wenn zugleich ak durch
b theilbar ist, so ist k durch b theilbar.
Beweis. Unter der Voraussetzung, daß a prim zu b ist, wird in
der Kette von Gleichungen (3) der letzte Rest ä ----- 1, folglich
ak — pbk -f- ck
bk ----- qck -j- dk
fk — tgk -j- k
Hieraus schließt man (2), daß ein gemeinschaftlicher Divisor von ak
und b aufgeht in ck, dk, . ., k. Ebenso schließt man, wenn ak durch
b theilbar ist, daß b aufgeht in ck, dk, . k.
5. Die gemeinschaftlichen Dividuen von a und b d. h. die Zahlen,
welche sowohl durch a als auch durch b theilbar sind, sind von der
Form a \ x , wenn durch h der größte gemeinschaftliche Divisor von
a und b bezeichnet wird. Ist nämlich a — ha, b ----- hß, und ak durch
b theilbar, so ist auch ak durch ß theilbar; nun ist a prim zu ß (3),
folglich k durch ß theilbar (4), b. % k ßx, ak ----- aßx.
Die gemeinschaftlichen Dividuen von a, b, c sind von der Form
ö c
a--x, wenn durch h' der größte gemeinschaftliche Divisor von
a j und c bezeichnet wird. U. s. w.
Der kleinste gemeinschaftliche Dividuus von a und b ist
b *
darnach a der kleinste gemeinschaftliche Dividuus von a, b, c ist
a - c -, u. s. w. Der kleinste gemeinschaftliche Dividuus der relativen
h h
Primzahlen a und b ist ab. Und wenn eine Zahl durch die relativen
Primzahlen a und b theilbar ist, so ist sie durch das Product derselben
theilbar. Euel. VII. 36 ff.
6- Umgekehrt schließt mau: Wenn a und k einzeln prim zu b sind,
so ist auch das Product ak prim zu b. Denn ein gemeinschaftlicher
Divisor von ak und b würde in k aufgehen (4), also wäre k nicht prim
zu b gegen die Voraussetzung. Eucl. VII, 26 ff.
