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Allgemeine Arithmetik. 
Potenzen relativer Primzahlen sind relative Primzahlen. Wenn 
a prim zu s, so ist aa prim zu b, und a prim zu bb. Ebenso schließt 
man, daß a 2 prim zu b 2 , 6 3 , u. s. w. 
7. Eine Zahl, welche durch andere Zahlen außer 1 nicht theilbar 
ist, heißt eine Primzahl (numerus primus). Jede Zahl ist entweder 
eine Primzahl oder durch Primzahlen theilbar. Eucl. VII, 34. 
Beweis. Wenn a keine Primzahl, sondern durch b theilbar ist, 
so ist b entweder eine Primzahl, oder durch c theilbar, ferner c entweder 
eine Primzahl oder durch d theilbar, u. s. f. Die Zahlen b, c, d,. . 
bilden eine fallende Reihe, welche deshalb nur eine endliche Anzahl von 
Gliedern haben kann und mit einer Primzahl schließt, durch welche jede 
der vorangehenden Zahlen, also auch a theilbar ist (1). 
Anmerkung. Es ist zweckmäßig, die Zahl 1 nicht zu den Prim 
zahlen zu rechnen. Dann sind je zwei Primzahlen ohne Ausnahme 
prim zu einander. Die einzige gerade Primzahl ist 2. Wenn die Zahl 
a zwischen r 2 und (r -j- 1)2 liegt, und durch die Primzahlen, welche 
kleiner als r sind, nicht theilbar ist, so ist sie eine Primzahl. Gesetzt 
a wäre durch die Primzahl r -\- s theilbar, so wäre a — (r -f Da 
durch a? theilbar. Nun ist 
X 
a 
r -st s 
(r + l) 2 „ 
; < r 
r -f- s 
1 
d. h. entweder eine Primzahl, die r nicht übersteigt, oder durch eine 
solche theilbar. Also wäre a durch eine Primzahl unter r theilbar, 
gegen die Voraussetzung; folglich kann a durch eine Primzahl über r 
nicht theilbar sein. 
8- Die natürliche Zahlenreihe enthält unendlich viel Primzahlen. 
Eucl. IX, 20. 
Beweis. Bedeutet^ die höchste bekannte Primzahl, A das Product 
der bekannten Primzahlen 2, 3, 5, 7, . ., p, so ist A -(- 1 entweder 
eine Primzahl über oder durch eine Primzahl über p theilbar. Denn 
A ist durch jede der Primzahlen von 2 bis p theilbar; A-j- 1 ist prim 
zu A (3), mithin durch keine der Primzahlen von 2 bis p theilbar. 
Wenn nun A -f- 1 eine Primzahl nicht ist, so ist sie durch eine Prim 
zahl theilbar, welche^ übersteigt. Demnach ist keine gegebene Primzahl 
die letzte Primzahl in der Reihe der natürlichen Zahlen. 
Anmerkung. Für die Aufeinanderfolge der Primzahlen ist ein 
allgemeines Gesetz nicht bekannt. Es giebt kein ans Potenzen einer 
Unbestimmten gebildetes Polhnomium, das nur Primzahlen umfaßte. 
Z. B. die Formel 41 — x -\- x 2 enthält für x = 1 bis 40 Primzahlen 
(Euler Hist, de l’Acad. de Berlin 1772 p. 36). Wenn aber a -f- bx