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RECHERCHES SUR LA SÉRIE 
m(m— 1) 8 , 
1.2 ' 
m (m — 1) (m — 2) 
1.2.3 
Х Ъ -)-••• 
Journal für die reine und angewandte Mathematik, herausgegeben von Grelle, Bd. I, Berlin 1826. 
Si Гоп fait subir au raisonnement dont on se sert 'en général quand il 
s’agit des séries infinies, un examen plus exact, on trouvera qu’il est, à tout 
prendre, peu satisfaisant, et que par conséquent le nombre des théorèmes, con 
cernant les séries infinies, qui peuvent être considérés comme rigoureusement 
fondas, est très limité. On applique ordinairement les opérations de l’analyse 
aux séries infinies de la même manière que si les séries étaient finies, ce 
qui ne me semble pas permis sans démonstration particulière. Si par ex 
emple on doit multiplier deux séries infinies l’une par l’autre, on pose 
(u 0 -j— Щ -]— U-2 —Щ -j- • • • ) (v 0 -)— V-L V 2 -j- v 3 • * • ) = U 0 V 0 -j— {u 0 V i -|— UyV^j 
4“ ( U 0 V 2 4“ U l V l 4~ U 2 V o) H h { U 0 V n + U l V n-l~\~ U 2 V nrr2~j- ' ‘ ' U n V o) 4“ * ’ ’ 
Cette équation est très juste lorsque les séries щ-\-u x 4~ • • • v o4~^i4~ ■ * ■ 
sont finies. Mais si elles sont infinies, il est d’abord nécessaire qu’elles con 
vergent, car une série divergente n’a pas de somme; ensuite la série du 
second membre doit de même converger. C’est seulement avec cette restric 
tion que Г expression ci-dessus est juste; mais, si je ne me trompe, jusqu’à 
présent on n’y a pas eu égard. C’est ce qu’on se propose de faire dans ce 
mémoire. Il y a encore plusieurs opérations semblables à justifier p. ex. 
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