390 SUR' LES FONCTIONS QUI SATISFONT A L’ÉQUATION (px(py— ^[x/yy fx). 
, , dr , , dr 
<px =f r d^ et ( f , y = ^ r ia' 
De ces équations on tire, en éliminant la fonction ifj'r, 
- , dr , dr 
Or l’expression de r donne 
(2) % e =fy J rVf x et ^=f x + x fy 
donc en substituant, 
(3) cp 'y (fy + yf'x) = cp 'x (fx -f xf'y). 
En donnant maintenant à la quantité variable y la valeur particulière zéro, 
ce qui est permis parce que x et y sont des quantités indépendantes entre 
elles, et en faisant pour abréger 
<p'(0) = a, /(0) = a, f'(0) = a 7 , 
l’équation (3) prendra la forme ê 
aa — (p'x [fx -[- a f x) = 0, 
d’où l’on tire, en écrivant y au lieu de æ, 
a<* — <p'y(fy + <*'y) = 0. 
Ces deux équations donnent 
(4) 
don 
(5) 
, aa , ' aa 
(p X = -z :—— et (p) y — 7—;—— ; 
joa-\-ax ’ jy-\-ay' 
donc en intégrant, 
(px — aa 
dx 
fx -j- a'x 
De cette manière la fonction (px est déterminée par fx. Il s’agit donc 
de trouver la fonction fx. En substituant dans l’équation (3) les expressions 
(4) des fonctions cp'x et cp'y, et réduisant, on trouvera 
(6) (fx -f a ’x) (fy 4- yf'x) =(fy-\-a ’y) (fx -f xf'y) 
d’où l’on tire, en développant, 
( 7 ) f x -fy J r a>QC fy + yf x •f x + axyf'x 
f x •fy — ¿yfx — xfy .fy — a'xyf'y = 0,