XXIII.
THÉORÈME GÉNÉRAL SUR LA TRANSFORMATION DES FONCTIONS ELLIP
TIQUES DE LA SECONDE ET DE LA TROISIÈME ESPÈCE.
Journal für die reine und angewandte Mathematik, herausgegeben von Grelle, Bd. 3, Berlin 1828.
Si une integrale algébrique f{yy,x) — 0 satisfait à l’équation
dy dx
V(l- ÿ »)(l-o'y)
a
V(i—0(i — c-,r-)
on aura toujours
f A + B x 2
V(i —«V)
'A' + B'y*
1 y 2
dy
i(l-y*)(l-c' 2 y 2 )
-f- k lo g_£>,
où Aj B, sont des quantités données, A/, B\ m, k des quantités constantes,
fonctions des premières, et p une certaine fonction algébrique de y et x. Il
est très remarquable que les paramètres m et n sont liés entre eux par la
même équation que y et x, savoir f(m,n) = Q. Dans le cas où n est in
fini, le premier membre deviendra seulement une fonction de la seconde
espèce, et dans ce cas on pourra démontrer que
O)
Bx 2 )
dx
V(1 —^0 (1 — c a .B 2 )
=/ G'+5 y)
dy
V(i-y î )(i-«'V)
où v est une fonction algébrique des variables x et y.
Au reste il est aisé de démontrer la formule (a). Il n’y a qu’à diffé
rentiel' l’équation
dx
y (! _:,*) (1 _ c 2 x 2 ) J V(l-y 2 ) (1 - c'y)
dy
par rapport au module c. Je me réserve de donner dans un autre mémoire
des développemens plus étendus sur le théorème ci-dessus.