THÉORÈMES SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 
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*) P. 268 de cette édition. 
Cela posé, lions allons démontrer le théorème suivant : 
Théorème I. Soit \p0 une fonction entière quelconque des quantités 
<p(0 -j- ma -j- a[i) qui reste la même en changeant 0 en 0-\~ a et en 0-j-/?. 
Soit v le plus grand exposant de la quantité <pO dans la fonction ipO, on 
aura toujours 
(5) xpO =p -j- ^. f{2n -(- 1)0. F(2n -(- 1)0, 
p et q étant deux fonctions entières de cp{2n -j-11$, la première du degré 
v et la seconde du degré v — 2. 
Démonstration. En vertu de la formule (10) tome II p. 105*) on a 
(p(0 -J- ma -|- u ¡3) 
cpd .f(ma -f- ufi) . F (iva -f- ¡.iff) -j- cp (ma -f- uff) .f0. FO 
1 -p e-c' 2 . q) 2 (rna -j- ¿</2) . f 2 0 
d’oîi il suit qu’on pourra exprimer ipO rationnellement en (pO et fO.FO. 
Or le carré de fO.FO est rationnel en cp0 1 car 
(f 6. FO) 2 = (1 — c 2 </r 0) (1 -j- e 2 <p 2 0), 
donc on pourra faire en sorte que l’expression de ipO ne contienne la quan 
tité fO.FO qu’à la première puissance. On pourra donc faire 
(7) ipO = ipfcpO) -f yfcpO) .f0 . FO, 
ou Vli { ( p0) et x \ j f ( p0) sont des fonctions rationnelles de <p0. 
Si l’on met œ — 0 à la place de 0, on aura, en remarquant que 
(p [m — 0) = (p0 1 f(io — 0) = —f0, F [œ — 0) = F0: 
(8) yj{m — 0) = xp 1 {(pO) — Tf(pO) .f0. FO. 
Des équations (7) et (8) on tire . 
(9) „ \.[ip0-]-y{œ — 0)], 
(10) V>*{<P&) -fO.FO — |. [y/0— ip{œ — 0)]. 
Considérons d’abord la fonction xpfcpO). En y mettant 0~\~a au lieu 
de 0, il viendra 
V>i 1<p( s +«)]=1 • I>(# + «)+— « — ®)] ; 
or on a yj[0 -)- a) — ipO, et par conséquent aussi, en mettant io — a — 0 au 
lieu de 0,