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6. Considérons maintenant l’équation (b). Comme la fonction multipliée 
par Y R du second membre doit être entière, il faut que m soit égal ou plus 
grand que 3. Il suit de là qu’il est impossible de trouver une relation entre 
y ®* d.v i® xdx /9 ^ dx f • • f 
~yiî ’ l~vlf ’J'Vïr 5 et <iue par conse( I uent ces tro,s inte ' 
grales sont irréductibles entre elles par des fonctions algébriques. Si au con 
traire m est égal ou plus grand que 3, on voit qu’il est toujours possible de 
réduire l’intégrale à des intégrales de la même forme dans lesquelles 
J v R 
m est moindre; et il est évident que les seules intégrales irréductibles sont 
les trois suivantes 
/ dx pxdx x 2 dx 
Vr\I~vr’J'Vr~' 
Ces intégrales sont donc les seules fonctions transcendantes contenues 
dans la formule intégrale 
/ 
Pdx 
VR 
, P étant une fonction entière. 
7. Pour réduire l’intégrale > faisons dans l’équation (b) 
(p(m) = — 1, et nous aurons 
+ fll)* + A2).^ + ... + fXm—3)*-’)- 
D’après ce qui précède on peut faire 
(p(m— 1) = (f(?n— 2) — ... = cf(3) — 0, 
on a donc 
/w-=«/^ + ’ (,, /w+*«/$î L | M 
—yn(f(0)+f(i)x+№**+■■■+A»«— 3 )*’“" 3 ) ) 
Il reste à déterminer les coefficiens 
v( 0), -Al). 9(2), AO), Al), A2) • • • 
Pour cela faisons dans l’équation (a) p = 0, p = 1,. • • p = m , on obtien 
dra les équations suivantes au nombre de m + 1: 
g>(0)= m-'t+hmx 
y(l) = 2A2).« + |Al)-/î+ AO), y 
9(2) = 3A3) • « + I №■(! + 2A1) • ï + î A») • 3 
o = 4A4).K + 5 A3)-A + 3A2 )-r +1 №■* + 2 AO)* 
0 — 5A5) ■ « + f A4) • /» + ¥(3) • y + î m ■ <1 + 3 Al) ■■ ■*