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qui par conséquent déterminent les relations nécessaires entre x,y,z, etc. pour 
que 1 intégrale de la fonction proposée soit un maximum ou un minimum. 
Scolie. On peut de ces équations tirer les équations de condition pour 
l’existence du maximum ou du minimum d’une intégrale ordinaire; on n’a pour 
cela qu’à changer S en f et J en d. Les équations (A) deviendront donc: 
0 = <p(.r) — d.(^{dx) + d 2 q(d 2 x)— d*y(d*x) + ... 
0 = cp(^) — d. <p(dy) + d 2 ^(d i y)—rf 3 cp(i/ 3 ^) + . . . 
0 = ç(z) —d.(fj(dz) + d 2 (p(d‘ 2 z) — i/ 3 <p(i/ 3 z) 4- . . . 
etc. 
qui sont les équations connues. 
Je vais maintenant montrer l’application de la théorie précédente à quel 
ques exemples. 
1. Parmi tous les polygones dont les côtes sont donnés en grandeur et 
en nombre, trouver celui dont l’aire est un maximum. 
Supposons que l’axe des abscisses coïncide avec l’un des côtes du po 
lygone et que x et y soient les coordonnées, l’expression de l’aire sera donc 
Z(y ~1~ ^ Jy) Jx. On a par conséquent f(x 3 y, Jx 3 Jy) = {y -}-\Jy)Jx. La 
condition que tous les côtes sont donnés en grandeur est exprimée par l’équation 
âj/{/¡y 1 -f- JX e1 )= 0= dv. On aura donc 
Les équations (A) deviendront donc: 
0 = (f(x) — Jcf(j(x — Jx)) 3 0 = (f(y) — Jy(J(y — ¿y)) 
ou en mettant x-\-Jx au lieu de x et y-\-Jy au lieu de y, 
0 = ff(x-{-Jx) — Jy (Jx), 0 = (f (y -f Jy) — Jy ( Jy) ; 
or (p(x -j- Jx) = 0, y (y -J- Jy)=J(x -f- Jx) etc. donc 
En intégrant ces deux équations on aura, 
c et c' étant les constantes arbitraires dues à l’intégration; et lorsqu’on élimine 
y J y -j- \J y 1 -f- xJx -f-1JX e1 =. c Jy -f- c? J x 
or yJy -\-\Jy l =\J(y l ) et xJx -j- ^Jx 2 = } I J(x' 1 ), donc